Проектируем космическую ракету с нуля. Часть 4 — Второй закон Кеплера

в 13:59, , рубрики: diy или сделай сам, второй закон кеплера, задача двух тел, космонавтика, математика, ракета, ракетостроение, физика, эллипс

Содержание

Часть 1 — Задача двух тел
Часть 2 — Полу-решение задачи двух тел
Часть 3 — Ужепочти-решение задачи двух тел

Второй закон Кеплера

Всем привет! В прошлый раз мы остановились на вот этих уравнениях:
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{x} = -mu dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{frac{3}{2}}},
\
ddot{y} = -mu dfrac{y}{(x^{2}+y^{2})^{frac{3}{2}}}.
end{cases}
end{equation*}
Задачка теперь плоская, все будет — хорошо. Запустим численное моделирование и отрисуем несколько траекторий движения (для разных начальных условий). Не анимацию, как раньше, а чтобы видно было какие формы имеют линии:

image
Возможные траектории движения спутника

Те кто знаком с эллипсами сразу скажут: тю, так это похоже эллипсы!

А те кто не слышал о эллипсах скажут: овал. Или сплюснутый кружок.

Но все ли линии тут «эллипсы»? Последние две не дорисованы, но видимо, если их продлить, то они замкнуться и станут очень большими эллипсами? Ну давайте продлим одну их них, ту что посередине.

image
Не похоже на эллипс

В прямую что-ли превращается… Превращается. Знающие эллипс — знают и гиперболу. И только взглянув на картинку, слово вам даю, — это слово они прокричали во весь голос. А потом к ним пришла мысль: тю, так это коники — конические сечения. Ждать ли нам еще и параболу? И уравнение им ответит: ждите.

Так, те кто не слишком понимает о чём идет речь — не переживайте. Дальше растолкуем. Пока это не принципиально, пока мы просто численно моделировали, чтобы прикинуть: а что всё-таки приблизительно должно получиться.

Ну и на закуску можно еще разок взглянуть как летает в плоскости спутник:

image
анимация 1: спутник летает по эллипсу

Из этих всех картинок и анимаций видно, что если уж и получается «эллипс», то он как-то расположен сбоку. В смысле центр эллипса не совпадает с началом координат. А всегда смещен вбок. А еще можно заметить, что тело движется неравномерно. Чем ближе к началу координат (или массивному неподвижному телу) — тем быстрее летит. Величина скорости от времени:

image
Скорость спутника

Ладненько, будем решать систему уравнений. Если сразу не решается, то бишь уравнение не напоминает ничего стандартного, уже решенного. Тогда применяют замену переменных — стандартный приём. Учитывая, что у нас получаются замкнутые овальные фигуры, а иногда даже круги, можно попробовать перейти в полярные координаты. Но это не главный аргумент приводящий к этому решению. Главный же, вот:

$ x^{2}+y^{2} $

Эта штука сидит в правых частях обеих уравнений в знаменателе. Еще и под корнем. А сам корень в третьей степени.

Полярные координаты это вот что такое. Хотя объяснять не буду, просто покажу:

image
Полярная система координат

Связь между старыми и новыми переменными легко установить, школьная тригонометрия:
begin{equation*}
begin{cases}
x = rhocos(phi),
\
y = rhosin(phi).
end{cases}
end{equation*}
Если возвести в квадрат оба уравнения и сложить, будет:

$ x^{2} + y^{2}=rho^{2}cos^{2}(phi) + rho^{2}sin^{2}(phi)=rho^{2}[cos^{2}(phi) + sin^{2}(phi)], $

$ rho^{2}=x^{2} + y^{2}.$

Ах вот зачем использовать полярные координаты, тогда ведь наши дифференциальные уравнения приобретут вид (для начала хотя бы правые части):
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{x} = -mu dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{frac{3}{2}}} = -mu dfrac{rhocos(phi)}{(rho^{2})^{frac{3}{2}}},
\
ddot{y} = -mu dfrac{y}{(x^{2}+y^{2})^{frac{3}{2}}} = -mu dfrac{rhosin(phi)}{(rho^{2})^{frac{3}{2}}},
end{cases}
end{equation*}
и сокращая на $ rho $ числитель и знаменатель:
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{x} = -mu dfrac{cos(phi)}{rho^{2}},
\
ddot{y} = -mu dfrac{sin(phi)}{rho^{2}}.
end{cases}
end{equation*}
Не ну, явно приятней смотреть. А что делать с левыми частями? Очевидно нужно продифференцировать. Не стоит забывать: $ leftlbrace rho(t), phi(t) rightrbrace $ — функции времени, это наши новые переменные вместо $ leftlbrace x(t), y(t)rightrbrace $. Задачка двумерная, и переменных должно быть две. Два было — два стало.

Легким дифференцированием руки, наши уравнения превращаются....уравнения превращаются...

begin{equation*}
begin{cases}
x = rhocos(phi)
\
y = rhosin(phi)
end{cases}
end{equation*}
begin{equation*}
begin{cases}
dot{x} = dot{rho}cos(phi) — rhosin(phi)dot{phi}
\
dot{y} = dot{rho}sin(phi) + rhocos(phi)dot{phi}
end{cases}
end{equation*}
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{x} = ddot{rho}cos(phi) — 2dot{rho}dot{phi}sin(phi) — rhoddot{phi}sin(phi) — rhodot{phi}^{2}cos(phi)
\
ddot{y} = ddot{rho}sin(phi) + 2dot{rho}dot{phi}cos(phi) + rhoddot{phi}cos(phi) — rhodot{phi}^{2}sin(phi)
end{cases}
end{equation*}

Вот в это:
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{rho}cos(phi) — 2dot{rho}dot{phi}sin(phi) — rhoddot{phi}sin(phi) — rhodot{phi}^{2}cos(phi) = -mu dfrac{cos(phi)}{rho^{2}}
\
ddot{rho}sin(phi) + 2dot{rho}dot{phi}cos(phi) + rhoddot{phi}cos(phi) — rhodot{phi}^{2}sin(phi) = -mu dfrac{sin(phi)}{rho^{2}}
end{cases}
end{equation*}
Что это? Это проще? — Минуточку!

Еще пару движений кистью и...

begin{equation*}
begin{cases}
ddot{rho}cos(phi) — ddot{phi}rhosin(phi) = -mu dfrac{cos(phi)}{rho^{2}} + 2dot{rho}dot{phi}sin(phi) + rhodot{phi}^{2}cos(phi) = a
\
ddot{rho}sin(phi) + ddot{phi}rhocos(phi) = -mu dfrac{sin(phi)}{rho^{2}} — 2dot{rho}dot{phi}cos(phi) + rhodot{phi}^{2}sin(phi) = b
end{cases}
end{equation*}
(за a и b обозначили правые части, для удобства)

$begin{bmatrix} cos(phi) & -rhosin(phi) \ sin(phi) & rhocos(phi) end{bmatrix} begin{bmatrix} ddot{rho} \ ddot{phi} end{bmatrix}=begin{bmatrix} a \ b end{bmatrix} $

Применяем метод Крамера для решения этой штуки:

$ begin{vmatrix} cos(phi) & -rhosin(phi) \ sin(phi) & rhocos(phi) end{vmatrix}=rhocos^{2}(phi) + rhosin^{2}(phi)=rho $

begin{equation*}
begin{cases}
ddot{rho} = dfrac{1}{rho}begin{vmatrix}
a & -rhosin(phi) \
b & rhocos(phi)
end{vmatrix} = dfrac{1}{rho}left[ arhocos(phi) + brhosin(phi)right] = acos(phi) + bsin(phi) \
ddot{phi} = dfrac{1}{rho}begin{vmatrix}
cos(phi) & a \
sin(phi) & b
end{vmatrix} = dfrac{1}{rho}left[ bcos(phi) — asin(phi)right]
end{cases}
end{equation*}
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{rho} = left( -mu dfrac{cos(phi)}{rho^{2}} + 2dot{rho}dot{phi}sin(phi) + rhodot{phi}^{2}cos(phi) right) cos(phi) +\+ left( -mu dfrac{sin(phi)}{rho^{2}} — 2dot{rho}dot{phi}cos(phi) + rhodot{phi}^{2}sin(phi) right) sin(phi) \
ddot{phi} = dfrac{1}{rho}left( -mu dfrac{sin(phi)}{rho^{2}} — 2dot{rho}dot{phi}cos(phi) + rhodot{phi}^{2}sin(phi) right) cos(phi) — \
— dfrac{1}{rho}left( -mu dfrac{cos(phi)}{rho^{2}} + 2dot{rho}dot{phi}sin(phi) + rhodot{phi}^{2}cos(phi) right) sin(phi)
end{cases}
end{equation*}
=) Доверься Богу и увидишь настоящие чудеса. Еще чуть-чуть; евреи 40 лет ходили по пустыне (кругами, а может даже эллипсами), а вы не можете 1 минуту подождать:
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{rho} = -dashuline{mu dfrac{cos^{2}(phi)}{rho^{2}}} + cancel{2dot{rho}dot{phi}sin(phi)cos(phi)} + uwave{rhodot{phi}^{2}cos^{2}(phi)} — \ -dashuline{mu dfrac{sin^{2}(phi)}{rho^{2}}} — cancel{2dot{rho}dot{phi}sin(phi)cos(phi)} + uwave{rhodot{phi}^{2}sin^{2}(phi)} \
ddot{phi} = dfrac{1}{rho}left( -cancel{mu dfrac{sin(phi)cos(phi)}{rho^{2}}} — uwave{2dot{rho}dot{phi}cos^{2}(phi)} + xcancel{rhodot{phi}^{2}sin(phi)cos(phi)} right) — \
— dfrac{1}{rho}left( -cancel{mu dfrac{sin(phi)cos(phi)}{rho^{2}}} + uwave{2dot{rho}dot{phi}sin^{2}(phi)} + xcancel{rhodot{phi}^{2}sin(phi)cos(phi)} right)
end{cases}
end{equation*}
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{rho} = -dfrac{mu}{rho^{2}}[sin^{2}(phi) + cos^{2}(phi) ] + rhodot{phi}^{2}[sin^{2}(phi) + cos^{2}(phi) ] \
ddot{phi} = -dfrac{2dot{rho}dot{phi}}{rho}[sin^{2}(phi) + cos^{2}(phi) ]
end{cases}
end{equation*}

и получается совсем неплохо:
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{rho} = -dfrac{mu}{rho^{2}} + rhodot{phi}^{2} \
ddot{phi} = -dfrac{2dot{rho}dot{phi}}{rho}
end{cases}
end{equation*}
Так что не нужно роптать раньше времени, Бог всегда ведет нас правильным путем. Всегда.

Ну ка, взглянем повнимательней на второе равенство:

$ dfrac{ddot{phi}}{cancel{dt}}=-dfrac{2dot{phi}}{rho}dfrac{drho}{cancel{dt}} $

Есть возможность немножко проинтегрировать:

$ dfrac{ddot{phi}}{dot{phi}}=-2dfrac{drho}{rho} $

$ intdfrac{ddot{phi}}{dot{phi}}=-2intdfrac{drho}{rho} $

Элементарные интегралы, и константу не забываем:

$ ln{dot{phi}}=-2ln{rho} + ln{h} $

Элементарные школьные преобразования:

$ ln{dot{phi}} + ln{rho^{2}}=ln{h} $

$ ln{dot{phi}rho^{2}}=ln{h} $

$ dot{phi}rho^{2}=h $

Не, не так. Вот так:

$ h=rho^{2}dot{phi} $

Вы скажете: ну почему мы константу в виде логарифма записали — понятно. Но почему у нас константа — $ h $?? Константы всегда — $ C $!

А я отвечу народу:

image

Иегова Бог говорит так: вспомни, Израиль, о моменте импульса, который ты получил в прошлой статье:

$ vec{h}=[vec{r}, dot{vec{r}}] $

Так, но мы ведь уже в новой координатной системе. В ней вектора $ vec{h}, vec{r} $ будут иметь такие компоненты:

$ vec{h}=(0, 0, h) $

$ vec{r}=(x, y, 0) $

Как и договаривались ранее — штрихи не пишем. А вектор $ vec{h} $ перпендикулярен к плоскости вращения, естественно у него будет только одна компонента, причем равна его длине. Вектор $ vec{r} $ наоборот — лежит в этой плоскости и компонент две.

А вот теперь, если еще добавить полярную систему координат, в которой мы теперь работаем, можно интересно поупражняться:

$ vec{r}=left[ rhocos(phi), rhosin(phi), 0right] $

$ dot{vec{r}}=left[ dot{rho}cos(phi) - rhosin(phi)dot{phi}, dot{rho}sin(phi) + rhocos(phi)dot{phi}, 0 right] $

И тогда должно получится нечто явно интересное:

$ hvec{k}=begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ rhocos(phi) & rhosin(phi) & 0 \ dot{rho}cos(phi) - rhosin(phi)dot{phi} & dot{rho}sin(phi) + rhocos(phi)dot{phi} & 0 end{vmatrix}=$

$=0vec{i} + 0vec{j} + begin{vmatrix} rhocos(phi) & rhosin(phi) \ dot{rho}cos(phi) - rhosin(phi)dot{phi} & dot{rho}sin(phi) + rhocos(phi)dot{phi} end{vmatrix}vec{k} $

Очевидно:

$ h=rhocos(phi)left( dot{rho}sin(phi) + rhocos(phi)dot{phi} right) - rhosin(phi) left( dot{rho}cos(phi) - rhosin(phi)dot{phi} right)=$

$=xcancel{rhodot{rho}sin(phi)cos(phi)} + rho^{2}dot{phi}cos^{2}(phi) - xcancel{rhodot{rho}sin(phi)cos(phi)} + rho^{2}dot{phi}sin^{2}(phi)=$

$=rho^{2}dot{phi}[sin^{2}(phi) + cos^{2}(phi) ]=rho^{2}dot{phi} $

А нука теперь сравним полученные нами равенства:
begin{equation*}
begin{cases}
h = rho^{2}dot{phi} \
h = rho^{2}dot{phi}
end{cases}
end{equation*}
Вот такое вот совпадение.
Ок, давайте пристально рассмотрим, что же это выражение может значить. Всё таки нам Бог пророчества давал о нём, оно явно важно. А также, не много, ни мало — это один из первых интегралов нашей системы.

Модуль векторного произведения $ h $ — суть площадь параллелограмма натянутого на вектора в скобках $ [vec{r}, dot{vec{r}}] $. Площадь…

Постойте-ка, а какая размерность $ rho^{2}dot{phi} $:

$ text{м}^{2}cdotdfrac{text{рад}}{c}=dfrac{text{м}^{2}}{c}$

Метры в квадрате деленные на секунду. Площадь за единицу времени… Площадь, полярные координаты, время; Боже дай нам понять что это!

А, загуглим ка площадь в полярных координатах, давно это было на первом курсе, начала матана:

$ S=dfrac{1}{2}intrho^{2}dphi $

Всё ясно ($ h $ константа, не забываем):

$ rho^{2}dot{phi}=rho^{2}dfrac{dphi}{dt}=h, $

$ rho^{2}dphi=hdt, $

$ intrho^{2}dphi=hint dt=ht + C, $

Тогда площадь:

$ S=dfrac{1}{2}(ht + C) $

Ну еще одна константа $ C $ — это в принципе начальная площадь, или её половина, точнее две. Пускай в нулевой момент времени площади у нас будет 0:

$ S=dfrac{ht}{2} $

или же скорость изменения площади — постоянна:

$ dot{S}=dfrac{h}{2} $

Красиво получается — площадь растет линейно. Равномерно. Хотя тело движется, как мы видели — совсем не равномерно. Особенно когда по эллипсу. Ну это логично, потому что площадь у нас (в полярных координатах) выходит «заметанием» радиуса вектора:
image
За равные промежутки времени получаются равные площади, красивая картинка из Википедии

И поэтому телу нужно лететь тем быстрее, чем ближе к центру вращения, и тем медленнее, чем дальше. Только тогда наши «треугольники» будут иметь равные площади.

И может быть кто-то не поверит, но мы с вами только что, лишь с помощью ручки, бумажки и матана открыли Второй закон Кеплера. Это один из трех законов открытых эмпирически, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Сделал он (Иоганн) это около 1607 года и звучит он так:

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает собой равные площади.

И вы не поверите, может быть, но второй закон был открыт Кеплером раньше первого. Как и у нас. Но он сделал это эмпирически.

Ох, слишком много совпадений… Еще и Ньютон со своими законами, тоже второй его закон немного главнее первого, и оный вытекает из второго.

А вот что Кеплер говорил о астрономии и астрологии:

Конечно, эта астрология глупая дочка; но, Боже мой, куда бы делась её мать, высокомудрая астрономия, если бы у неё не было глупенькой дочки! Свет ведь ещё гораздо глупее и так глуп, что для пользы этой старой разумной матери глупая дочь должна болтать и лгать. И жалованье математиков так ничтожно, что мать наверное бы голодала, если бы дочь ничего не зарабатывала.

Кеплер понимал Бога, понимал единство мира. А Бог евреям тоже говорил за 3000 лет до этого, что астрология — ху*ня. Чревовещание — ху*ня. Всё ху*ня, Миша, занимайтесь наукой. И почему так верунов не любят современные дети. Всё просто — в Библию никто не заглядывает.

Но пойдем дальше. Хотите услышать как звучит первый закон Кепелера?

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Можно сказать, что мы частично открыли и первый: знаем, что тело вращается в неизменной плоскости (а эллипс по определению — плоская кривая), но пока, к сожалению, еще не знаем, что это «эллипс». И что его «фокус» находится как раз в центре координат. Всё будет, но позже, и про конические сечения поговорим, и про эллипсы, и про их фокусы.

Сейчас будем заканчивать, но перед этим я закину крючок, извините вам в рот, за щеку:

$ rho^{2}dot{phi}=h $

$ dot{phi}=dfrac{h}{rho^{2}} $

А теперь фокус-покус (это первое уравнение из нашей системы):

$ ddot{rho}=-dfrac{mu}{rho^{2}} + rhodot{phi}^{2} $

$ ddot{rho}=-dfrac{mu}{rho^{2}} + rholeft( dfrac{h}{rho^{2}} right)^{2} $

Вуаля!

$ ddot{rho}=-dfrac{mu}{rho^{2}} + dfrac{h^{2}}{rho^{3}} $

Не, ну это уже можно пытаться решить, красиво. В следующем посте продолжим решать…

хлеб наш насущный дай нам на сей день.

PayPal ($): what.is.truth.19@gmail.com
Bitcoin (BTC): 1AodAFYCbwrwTiZb5JVsQjv37G5toBcyQ
Ethereum Classic (ETC): 0x9234016395e0e6ef7cf6c0aa0f6f48f91ab39239
Ripple (XRP): rLW9gnQo7BQhU6igk5keqYnH3TVrCxGRzm (адрес), 270547561 (тег)
Bitcoin Cash (BCH): bitcoincash:qzxfz2hdcl0hv23a3hlcefsy07mglssjtgwrckhyg8

или webmoney (Ниже: Поддержать автора -> Отправить деньги)

Вот приношения, которые вы должны принимать от них: золото и серебро и медь,
и шерсть голубую, пурпуровую и червленую, и виссон, и козью,
и кожи бараньи красные, и кожи синие, и дерева ситтим,
елей для светильника, ароматы для елея помазания и для благовонного курения,
камень оникс и камни вставные для ефода и для наперсника.
Исход 25

P.S.: Печально, что на Хабре нет модуля usepackage{cancel}, но может появится, я не буду некоторые формулы пока исправлять. Или это в mathjax нету модуля, я не разбираюсь, тогда претензии к mathjax

Автор: Серый

Источник


* - обязательные к заполнению поля


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js