О коте Шредингера

в 16:45, , рубрики: интерференция, кот шредингера, математика, принцип суперпозиции, физика

Зачем

О ситуации с котом Шредингера, наверно, имеет представление большинство хабровцев, интересующихся физикой. Поэтому я не буду ее излагать. Дискуссия ведется вокруг интерпретации состояния кота. Вот альтернативы:

  1. Кот “И жив И мертв”. Это описывается в квантовой механике как суперпозиция состояний “жив” и “мертв” и, значит, возможны какие-то интерференционные эффекты, подобно случаю рассеяния света на двух щелях.
  2. Кот “ИЛИ жив ИЛИ мертв”. Эта трактовка запрещает вышеуказанную суперпозицию и, значит, запрещает интерференционные эффекты.

Моя задача изложить точку зрения, вытекающую, как мне кажется, из чтения книги “Квантовая механика” Фейнмана.

Откуда ноги растут

А ноги растут из принципа суперпозиции. Он гласит:

Пусть система может находиться в состоянии $|s_1>$, в котором измерение наблюдаемой s дает всегда результат $s_1$
и
пусть система может находиться в состоянии $|s_2>$, в котором измерение наблюдаемой s дает всегда результат $s_2$,
тогда систему можно приготовить и в суперпозиционном состоянии $c_1 |s_1> + c_2 |s_2> $ где $|с_1 |^2+|с_2 |^2=1$. В этом состоянии при измерении наблюдаемой s значение $s_i$ будет наблюдаться с вероятностью $|с_i |^2$. Говорят, по-другому, что значение $s_i$ будет наблюдаться с амплитудой $c_i$.

Принцип суперпозиции для двух состояний приводит к принципу суперпозиции для произвольного числа допустимых состояний системы для рассматриваемой наблюдаемой. Но нам важно только для двух состояний – живого и мертвого.

Заметим, как приготовить систему в суперпозиции – это другой вопрос. Вопрос технический. А принцип говорит, что можно приготовить суперпозицию. А как приготовить, он об этом ничего не говорит.

Суперпозиция ведет к интерференционным эффектам. И экспериментально она проявляется только в интерференции. Интерференция состояний — вот что отличает квантовую механику от классической. Интерференцию не всегда можно наблюдать. Ведь визуальная картина интерференции может меняться так быстро, что визуализирующий прибор с большим временем реакции отобразит усредненную картину, смазывающую или вообще ликвидирующую эффект интерференции. Но это уже дело техники. А вот при отсутствии суперпозиции никакая техника не обнаружит интерференции.

Большинство, наверно, знают отличие интерференционной картины от неинтерференционной при рассеянии на двух щелях. Вот картины этой интерференции (каждый квадратик – отдельная картинка):

О коте Шредингера - 11

Картины интерференции двух круговых когерентных волн, в зависимости от длины волны и расстояния между источниками.

Какие возможные интерференционные эффекты при суперпозиции живого и мертвого я не берусь описывать и, тем более, визуализировать их.

Примеры суперпозиции

Суперпозиция в обычном пространстве

Свободная частица описывается волновой функцией – волной де Бройля в координатном пространстве:

$P(x)=exp(-ipx)$

Здесь p – импульс, являющийся фиксированной величиной (параметр), а x – координата — переменная, которая может принимать любое значение координаты. Разные импульсы задают разные возможные состояния. Значит, возможна суперпозиция волн де Бройля, соответствующих различным импульсам. Это может быть конечная суперпозиция, счётная суперпозиция, континуальная суперпозиция, в которой сумма переходит в интеграл. Мы получим состояния, которое не обладает определенным значением импульса: при измерении импульса могут получаться различные значения и это не ошибка эксперимента.

Насколько обширен класс функций представимых такой суперпозицией? Вспоминая математику, мы узнаем в приведенных счетных суперпозициях ряд Фурье а в континуальной суперпозиции интеграл Фурье – Фурье разложение по p. Вот она таинственная связь абстрактной математики и конкретной физики! Обширными исследованиями матанализ описывает класс Фурье-разложимых функций. А для физики это просто суперпозиция плоских волн с различными импульсами.

Суперпозиция в импульсном пространстве

Симметрии ради можно аналогично рассмотреть волну де Бройля в импульсном пространстве — частицу с фиксированной координатой:

$X(p)=exp(-ipx)$

Здесь x – координата, являющаяся фиксированной величиной (параметр), а импульс p — переменная, которая может иметь любое значение импульса. Разные координаты задают разные возможные состояния. Значит, возможна суперпозиция волн де Бройля, соответствующих различным координатам. Это может быть конечная суперпозиция, счётная суперпозиция, континуальная суперпозиция, в которой сумма переходит в интеграл. Мы получим состояния, которое не обладает определенной координатой: при измерении координаты могут получаться различные значения и это не ошибка эксперимента.

Суперпозиция в энергетическом пространстве

Стационарное состояние – состояние с фиксированной энергией. Оно описывается волновой функцией – волной де Бройля в энергетическом пространстве:

$E(t)=exp(-iet)$

Здесь e – энергия, являющаяся фиксированной величиной (параметр), а время t есть переменная, могущая принимать любое значение времени. Разные энергии задают разные возможные состояния. Значит, возможна суперпозиция волн де Бройля, соответствующих различным энергиям. Это суперпозиция стационарных состояний, которая может описывать нестационарные состояния — коэффициенты суперпозиции могут зависеть от времени.

Суперпозиция в спиновом пространстве

Фотон с круговой поляризацией представляется как суперпозиция двух линейных поляризаций.

Суперпозиция в пространстве фундаментальных частиц

Фотон как суперпозиция

В стандартной модели фотон является суперпозицией бозонов $B^0 $ и $W^0$.

Нейтрино как суперпозиция

Каждое нейтрино с определенной массой — суперпозиция электронного, мюонного и тау-нейтрино. И, обратно, электронное нейтрино, мюонное нейтрино и тау-нейтрино – суперпозиция трёх нейтрино с определёнными массами.

Каон как суперпозиция

Ситуация c каонами похожа на ситуацию с нейтрино.

Суперпозиция в пространстве жизни

Тут я пас.

Принцип суперпозиции не говорит о том, исчерпываются ли все состояния суперпозициями. Например, есть ли физические состояния, которые не представимы в виде суперпозиции плоских волн? — Я не знаю.

Цитата из Фейнмана:

Мы описали сейчас одно из величайших достижений теоретической физики. Оно не основано на элегантных математических трюках, подобных общей теории относительности, тем не менее полученные предсказания так же важны, как, например, предсказание позитрона. Особенно интересным является тот факт, что мы довели принцип суперпозиции до логического конца. Бом и его сотрудники полагали, что принципы квантовой механики не имеют фундаментального характера и, в конечном счете, не смогут объяснить новые явления. Однако эти принципы работают. Это еще не доказывает, что они верны, но я готов биться об заклад, что принцип суперпозиции будет стоять в веках!

Вопросы

Если мы имеем суперпозицию, то можно ли говорить, что система состоит из суперпозиционных составляющих? Белый свет состоит из радуги? Фотон состоит из бозонов? Что значит “состоит”? Можно функцию разложить в ряд Фурье по синусоидам, а можно разложить в ряд Фурье по полиномам Лежандра, по полиномам Чебышева и т.д. Так из чего она состоит? Всякая ли математическая суперпозиция осуществима физически? Саму синусоиду можно разложить в ряд Фурье по полиномам Лежандра. Значит, может существовать некий прибор, который разложит монохроматический свет по полиномам Лежандра. Значит можно говорить, что монохроматический свет состоит из “волн Лежандра”? Тогда можно ввести и понятие “фотон Лежандра”. И в каких-то ситуациях проще будет оперировать фотоном Лежандра, а не обычным синусоидальным фотоном. Можно представить себе радио на волнах Лежандра…

Похоже на то, что если мы обнаруживаем суперпозицию состояний, считавшихся ранее состояниям разных, несуперпозируемых систем, то эти состояния нужно считать состояниями, какой-то новой единой системы.

Кот

Переходим к коту Шредингера. Он может находиться в состоянии “жив” и может находиться в состоянии “мертв”. Значит, по принципу суперпозиции он может находиться и в суперпозиции состояний “жив” и “мертв”. Возможно не в текущей ситуации, но в какой-то другой обязательно. Так ли это? И какие возможные интерференционные эффекты можно наблюдать в этом случае?
А давайте обобщим кота: перейдем к понятию “животное”. Мы знаем, что оно может находиться в состояниях лев, человек,… Значит по принципу суперпозиции возможна и их суперпозиция. Это абсурд. Идем дальше и “животное” обобщим до понятия “материальный объект”. Тогда нужно допустить суперпозицию любых материальных объектов. Этот еще больший абсурд. Похоже, что нужно уточнить понятие системы. Видимо, нужно брать конкретную систему (конкретный кот), а не абстрактную (животное). Но ведь предложил же Гейзенберг рассматривать протон и нейтрон как разные состояния системы “нуклон» и получил интересные следствия.

Что говорит Фейнман

Обратимся к Фейнману. Он рассматривает эксперимент по рассеянию нейтронов на кристалле.

Я резюмирую текст Фейнмана так.

После рассеяния нейтронов на кристалле на выходе есть две системы нейтронов:

  1. Упруго рассеянные нейтроны
  2. Неупруго рассеянные нейтроны, имеющие перевернутый спин по сравнению с первоначальным

Суперпозиции между первой и второй системами нет. Они физически различимы. В первой системе нейтроны суперпозируют и получается типичная интерференционная картина a). На нее накладывается картина б) сложения интенсивностей во второй системе). Итоговый рисунок — в).

О коте Шредингера - 17

Суперпозиция во второй системе есть, а интерференции нет. Интерференцию разрушает случайность сдвига фаз при перевороте спина. То, что это так показывает интерференция двух специально приготовленных нейтронных пучков с разными ориентациями спина, в том числе и с противоположно направленными спинами. Интерференция есть при достаточной когерентности пучков. Более того, обнаружен эффект безумный с точки зрения здравого смысла. Если во втором пучке нейтроны имеют спин, повернутый на 360 градусов по сравнению со спином первого пучка, то наблюдается максимальная интерференция. Это не лезет ни в какие ворота. Поворот на 360 градусов не привел к первоначальному состоянию. Объяснить это невозможно. Однако с формальной точки зрения здесь все понятно. Нейтрон описывается спинором, а не скаляром как скалярный мезон, или вектором как фотон. Квантовая механика допускает амплитуды, описываемые спинорами — величинами, совпадающие с собой только при двойном обороте — повороте на 720 градусов. А поворот на один оборот может сопровождаться умножением амплитуды на комплексное число с модулем 1. Физика спинора при этом не изменится – средние не изменятся. Но при наложении пучков возможны эффекты интерференции. Отсюда и происходит указанный интерференционный эффект.

Так что же может суперпозировать?

Ни в одном учебнике по квантовой механике, с которыми я знакомился, я не нашел критерия возможности суперпозиции. И только у Фейнмана я встретил рецепт при рассмотрении им рассеяния на двух щелях.

Критерий Фейнмана

Никогда не складывайте амплитуды разных, отличных друг от друга конечных состояний. Как только фотон был воспринят одним из фотонных счетчиков около щелей, мы всегда, если надо, можем узнать не возмущая больше системы, какая из альтернатив (взаимоисключающих событий) реализовалась. У каждой альтернативы есть своя вероятность, полностью независимая от другой. Повторяем, не складывайте амплитуд для различных конечных условий(под “конечным” мы понимаем тот момент, когда нас интересует вероятность, т.е. когда опыт “закончен”). Зато нужно складывать амплитуды для разных неразличимых альтернатив в ходе самого опыта, прежде чем целиком закончится сам процесс. В конце процесса вы можете, если хотите, сказать, что вы “не желаете смотреть на фотон”. Это ваше личное дело, но все же амплитуды складывать нельзя. Природа не знает, что вы на нее смотрите, и ей безразлично, интересуют ли вас ее данные или нет. Так что мы не должны складывать амплитуды.

Итак, если есть физически неразличимые пути достижения точки, в которой мы рассматриваем возможность интерференции, то амплитуды этих путей складываются и мы имеем интерференцию. Если они физически различимы, то складываются вероятности и, значит, интерференции нет. Под путем понимается движение не только в обычном пространстве. Так если есть две моды распада частицы с одним исходом, то они должны суперпозировать.

Назовем приведенные выше максимы Фейнмана суперпозиционным критерием Фейнмана.
Итак, Фейнман говорит, что суперпозировать могут только физически неразличимые траектории.

Высказывание Дирака

…каждый фотон интерферирует лишь с самим собой. Интерференции между двумя разными фотонами никогда не происходит.

Надо полагать это относится и к любому объекту. Поэтому и кот может интерферировать только с самим собой. Мертвый кот и живой кот – это предельно разные коты. Да и можно ли называть труп мертвым котом. Это труп кота, но никак не кот.

Сомнения

Что считать под системой в принципе суперпозиции? Если мы рассматриваем состояния с разным значением импульса электрона, то это, несомненно, разные состояния одной системы, называемой электрон. Если мы рассматриваем разные энергетические состояния атома водорода, то это также одна система — атом водорода. Но вот Гейзенберг предложил рассматривать протон и нейтрон как разные состояния нуклона. Тогда, что возможна суперпозиция протона и нейтрона? Но тогда почему невозможно суперпозиция электрона и позитрона? Говорят, что это противоречит закону сохранения электрического заряда. Тогда почему суперпозиция разных энергетических состояний не противоречит закону сохранения энергии? Энергию уносит фотон? Тогда и заряд может уносить рождающаяся частица. Можно объявить честно (Кемпфер, Липкин), что суперпозиций с разными электрическими зарядами не наблюдалось в природе, хотя такая суперпозиция не противоречит никаким законам.

О физической различимости траекторий системы. Что служит метками различимости? Точки пространства? – Нет. Точки времени? Заряды: масса, электрический, лептонный, барионый? Спин? Только внутренние характеристики? Фейнман говорит, что это отметки во внешней среде, которые можно обнаружить. При рассеянии нейтронов на кристалле нейтрон с перевернутым спином оставляет метку в кристалле – ядро с перевернутым спином. Любое неупругое рассеяние оставляет метку (энергетическую, спиновую…) в рассеивающей среде, а упругое нет. Значит при прохождении через щели интерферируют фотоны только упругого рассеяния.

В отношении различимости можно сказать еще вот что. Наше знание неточно, и то, что сегодня считается физически неразличимым, завтра может оказаться различимым. Так произошло с понятиями правый, левый. Если считать правое и левое чисто условностями, то эта условность не должна входить в фундаментальные формулы. Но вот оказалось, что для слабого взаимодействия понятия “правый”, “левый” отнюдь не условность: правое и левое состояния различаются слабыми взаимодействиями. И в лагранжиан слабого взаимодействии включили отдельно “правые” и “левые” члены. Т.е. не ответив на вопрос «почему правое отличается от левого?», тем не менее, успешно ответили на вопрос “как это происходит?” Это, впрочем, не ново. Еще Ньютон, на упреки в том, что он не объяснил природу тяготения, а просто привел формулу закона тяготения ответил примерно так, что да, я не знаю природы тяготения и не выдвигаю на этот счет никаких гипотез, зато я знаю, как описывается закон тяготения и это уже кое-что. Подобный подход вылился в некую философию: некоторые физики прямо заявляют, что дело физики выяснить “как?”, а не “почему?”. Ну, в самом деле, что ответить на вопрос «Почему справедливы уравнения Максвелла?”. Этого никто не знает.

Аналогично с ситуацией “правое-левое” произошло и в случае каонов. Казалось бы, есть два совершенно различимых типа каонов. Один распадается на два мезона. А второй на три. Но Гелл-Манн и Пайс предположили, что мы имеем дело с распадом одной частицы. А две моды распада возникают из-за того, что эта исходная частица представляет собой суперпозицию двух других типов каонов.

Все это так. Но, сомнительно, что когда-нибудь живой и мертвый кот объединятся в одну систему и различие между живым и мертвым станет эфемерным.

Что не может суперпозировать?

Суперпозиция разных частиц

Представим себе эксперимент с двумя щелями, когда через одну щель проходит плоская волна электронов, а через другую плоская волна протонов. Пусть длины волн де Бройля постоянны и одинаковы. Будет ли наблюдаться интерференция? Если формально рассматривать, то волна протона описывается точно так же, как и волна электрона. И почему бы не быть интерференции? Но в квантовой теории поля волны будут одинаковы только в пространственной части. А неодинаковы они будут по заряду и спину. Но давайте останемся в рамках обычного рассмотрения опыта на щелях. Рассмотрим пучок электронов и отрицательных мюонов. Там и заряды и спины одинаковы. А будет ли интерференция? Ответ дает критерий Фейнмана. Раз частицы физически различимы, то интерференции не будет. Как в опыте с одинаковыми частицами, когда проверяется прохождение через щель, проверка делает частицы различимыми и интерференция исчезает, так при опыте с различными частицами они уже физически различимы изначально. Интерференции не будет. Обратно, если интерференция вроде бы одинаковых частиц, но от разных источников не наблюдается, то частицы различимы. Хотя эту различимость (характеристика, отвечающая за различимость) мы пока не обнаружили.

Суперпозиция мертвого и живого

В принципе суперпозиции говорится о состояниях определенной квантовой системы. Мертвый кот и живой кот – это совершенно разные физические системы. Cуперпозировать могут только физически неразличимые альтернативы. А мертвое и живое физически очень даже различимы. Можно даже сказать, что большей различимости, чем мертвое от живого и быть не может. Наше незнание о том, жив или мертв кот, возникает не вследствие суперпозиции, а вследствие нехватки информации, как в любой классической вероятностной задаче. А в случае суперпозиции, речи о нехватке информации нет и, как утверждает копенгагенская интерпретация квантовой механики, и быть не может.

Если эксперимент показывает отсутствие суперпозиции упруго рассеянного нейтрона и неупруго рассеянного нейтрона, то логично утверждать, что мертвый кот и живой не могут суперпозировать. Они фундаментально отличаются друг от друга.

Суперпозиция живого и живого

Живая система предполагает непрерывный обмен веществом и энергией с внешней средой. Этим она непрерывно метится – становится физически различимой. Значит, живое не может интерферировать. Оно не может застыть и оставаться идентичным. Живое все время неидентично само себе. Это все время другая система.

Итак, пользуясь критерием Фейнмана мы заключаем, что

  1. Нейтрон с перевернутым спином и не перевернутым при рассеянии нейтронов на кристалле не суперпозируют
  2. Частицы с разными зарядами не могут суперпозировать. Протон и нейтрон суперпозируют только если забыть про электрические заряды — при отключении электромагнитного взаимодействия. Реально этого не сделать. И значит в реальности могут наблюдаться только некие следы от возможной суперпозиции. Например, сечения рассеяния протон-протон, нейтрон-нейтрон, протон-нейтрон будут близкими настолько насколько электромагнитное взаимодействие слабее сильного.
  3. Протон и электрон не могут суперпозировать
  4. Молекулы разных веществ не могут суперпозировать

Сомнения

Однако, почему в суперсимметрии допускается суперпозиция кварка и лептона? Возможно, что суперпозиция относительна и то, что в одних условиях суперпозиции нет, не означает, что она невозможна в других ситуациях? Тогда принцип суперпозиции нужно дополнить описанием ситуации суперпозиции. Так в ситуации отключения электромагнитного поля возможна суперпозиция протона и нейтрона.

Выводы

  • Суперпозиция — дело принципа: есть или нет суперпозиция – это определяют законы природы. Интерференция – дело техники: если есть суперпозиция, то есть и интерференция. Другое дело обнаруживается ли она приборами – это зависит от быстроты реакции регистрационного прибора. Но необходимое условие интерференции – суперпозиция.
  • Никакой суперпозиции мертвого и живого нет. Это физически совершенно разные системы, а не состояния одной системы. Нет суперпозиции – нет интерференции. И значит кот Шредингера или жив или мертв без никакой суперпозиции этих состояний. Приготовить такую суперпозицию невозможно.
  • Никакой суперпозиции живого и живого нет. Живая система в разные моменты времени это физически разные системы, а будь получена точная копия живого для интерференции, то она тут же станет неточной из-за процессов жизнедеятельности.

Я изложил свою точку зрения. А верховный судья в физике – эксперимент. Он может опровергнуть любую логику. Ну так с нетерпением ждем эксперимента по интерференции мертвого и живого, живой и мертвой амебы, например.

Автор: MirAleAnu

Источник


* - обязательные к заполнению поля


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js