Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности)

в 18:12, , рубрики: Алгоритмы, веса, граф, графики, графы, искусственный интеллект, массив, математика, матрица, машинное обучение, петли, ребра графа, Сетевые технологии, списки, теория графов

Все, что познается, имеет число, ибо невозможно ни понять ничего, ни познать без него – Пифагор

В этой статье:

Матрица смежности

Матрица инцидентности

Список смежности (инцидентности)

Взвешенный граф (коротко)

Итак, мы умеем задавать граф графическим способом. Но есть еще два способа как можно задавать граф, а точнее представлять его. Для экономии памяти в компьютере граф можно представлять с помощью матриц или с помощью списков.

Матрица является удобной для представления плотных графов в которых количество ребер (E) примерно равно количеству вершин (V).

Другой способ называется списком. Данный способ больше подходит для более разреженных графов, то есть графов где количество ребер меньше количества вершин.

Перед чтением материала рекомендуется ознакомится с предыдущей статьей, о смежности и инцидентности, где данные определения подробно разбираются.

Матрица смежности

Но тем кто знает, но чуть забыл, что такое смежность есть краткое определение.

Смежность – понятие, используемое только в отношении двух ребер или в отношении двух вершин: два ребра инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными.

Матрица (назовем ее Ɐ) состоит из n строк и n столбцов и поэтому занимает n^2 места.

Каждая ячейка матрицы равна либо 1, либо 0;

Ячейка в позиции Ɐ (i, j) равна 1 тогда и только тогда, когда существует ребро между вершинами i и j. Если у нас положение (j, i), то мы также сможем использовать данное правило. Из этого следует, что число единиц в матрице равно удвоенному числу ребер в графе. (если граф неориентированный). Если ребра между вершинами i и j не существует, то ставится 0.

Для практического примера возьмем самый обыкновенный неориентированный граф:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 1

А теперь представим его в виде матрицы:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 2

Ячейки, расположенные на главной диагонали всегда равны нулю, потому что ни у одной вершины нет ребра, которое и начинается, и заканчивается в ней только если мы не используем петли. То есть наша матрица симметрична относительно главной диагонали. Благодаря этому мы можем уменьшить объем памяти, который нам нужен для хранения.

С одной стороны объем памяти будет:

θ |V^2|

Но используя вышеописанный подход получается:

θ |V^2/2|

Потому что нижнюю часть матрицы мы можем создать из верхней половины матрицы. Только при условии того, что у нас главная диагональ должна быть пустой, потому что при наличии петель данное правило не работает.

Если граф неориентированный, то, когда мы просуммируем строку или столбец мы узнаем степень рассматриваемой нами вершины.

Если мы используем ориентированный граф, то кое-что меняется.

Здесь отсутствует дублирование между вершинами, так как если вершина 1 соединена с вершиной 2, наоборот соединена она не может быть, так у нас есть направление у ребра.

Возьмем в этот раз ориентированный граф и сделаем матрицу смежности для него:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 5

В виде матрицы:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 6

Если мы работаем со строкой матрицы, то мы имеем элемент из которого выходит ребро, в нашем случаи вершина 1 входит в вершину 2 и 8. Когда мы работаем со столбцом то мы рассматриваем те ребра, которые входят в данную вершину. В вершину 1 ничего не входит, значит матрица верна.

Объем памяти:

θ |V^2|

Если бы на главной диагонали была бы 1, то есть в графе присутствовала петля, то мы бы работали уже не с простым графом, с каким мы работали до сих пор.

Используя петли мы должны запомнить, что в неориентированном графе петля учитывается дважды, а в ориентированном - единожды.

Матрица инцидентности

Инцидентность – понятие, используемое только в отношении ребра и вершины: две вершины (или два ребра) инцидентными быть не могут.

Матрица (назовем ее I) состоит из n строк которое равно числу вершин графа, и m столбцов, которое равно числу ребер. Таким образом полная матрица имеет размерность n x m. То есть она может быть, как квадратной, так и отличной от нее.

Ячейка в позиции I (i, j) равна 1 тогда, когда вершина инцидентна ребру иначе мы записываем в ячейку 0, такой вариант представления верен для неориентированного графа.

Сразу же иллюстрируем данное правило:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 8

В виде матрицы:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 9

Сумма элементов i-ой строки равна степени вершины.

При ориентированным графе, ячейка I (i, j) равна 1, если вершина V (i) начало дуги E(j) и ячейка I (i, j) равна -1 если вершина V (i) конец дуги E (j), иначе ставится 0.

Ориентированный граф:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 10

В виде матрицы:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 11

Одной из особенностей данной матрицы является то, что в столбце может быть только две ненулевых ячейки. Так как у ребра два конца.

При суммировании строки, ячейки со значением -1, могут складываться только с ячейками, также имеющими значение -1, то же касается и 1, мы можем узнать степень входа и степень выхода из вершины. Допустим при сложении первой вершины, мы узнаем, что из нее исходит 1 ребро и входят два других ребра. Это является еще одной особенностью (при том очень удобной) данной матрицы.

Объем памяти:

θ(|V| * |E|)

Список смежности (инцидентности)

Список смежности подразумевает под собой, то что мы работаем с некоторым списком (массивом). В нем указаны вершины нашего графа. И каждый из них имеет ссылку на смежные с ним вершины.

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 13

В виде списка это будет выглядеть так:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 14

Неважно в каком порядке вы расположите ссылку так как вы рассматриваете смежность относительно первой ячейки, все остальные ссылки указывают лишь на связь с ней, а не между собой.

Так как здесь рассматривается смежность, то здесь не обойдется без дублирования вершин. Поэтому сумма длин всех списков считается как:

2 |E|

Объем памяти:

θ(E + V)

Когда мы работаем с ориентированным графом, то замечаем, что объем задействованной памяти будет меньше, чем при неориентированном (из-за отсутствия дублирования).

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 17

В виде списка:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 18

Сумма длин всех списков:

|E|

Объем памяти:

 θ(E + V)

Со списком инцидентности все просто. Вместо вершин в список (массив) вы вставляете рёбра и потом делаете ссылки на те вершины, с которыми он связан.

К недостатку списка смежности (инцидентности) относится то что сложно определить наличие конкретного ребра (требуется поиск по списку). А если у вас большой список, то удачи вам и творческих успехов! Поэтому, чтобы работать максимальной отдачей в графе должно быть мало рёбер.

Взвешенность графа

Взвешенный граф - это граф, в котором вместо 1 обозначающее наличие связи между вершинами или связи между вершиной и ребром, хранится вес ребра, то есть определённое число с которым мы будем проводить различные действия.

К примеру, возьмем граф с весами на ребрах:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 21

И сделаем матрицу смежности:

Теория графов. Часть третья (Представление графа с помощью матриц смежности, инцидентности и списков смежности) - 22

В ячейках просто указываем веса ребра, а в местах где отсутствует связь пишем 0 или -∞.

Более подробно данное определение будет рассмотрено при нахождении поиска кратчайшего пути в графе.

Итак, мы завершили разбор представления графа с помощью матрицы смежности и инцидентности и списка смежности (инцидентности). Это самые известные способы представления графа. В дальнейшем мы будем рассматривать и другие матрицы, и списки, которые в свою очередь будут удобны для представления графа с определёнными особенностями.

Если заметили ошибку или есть предложения пишите в комментарии.

Автор:
Qfaz12

Источник


* - обязательные к заполнению поля


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js