Неевклидова геометрия. Основы

Зачем?

На протяжении 2000 лет люди считали геометрию Евклида единственно возможной. Казалось очевидным, что через точку можно провести только одну параллельную прямую.

Но в XIX веке Лобачевский, Риман и другие математики задали вопрос: а что, если это не единственный вариант?

Оказалось, что можно построить непротиворечивые геометрии, где параллельных прямых либо нет вообще (эллиптическая геометрия), либо их бесконечно много (гиперболоид).

И отвечая на вопрос “зачем?”, можно сказать:  GPS и навигация работают благодаря сферической геометрии - кратчайшие маршруты самолётов идут не по прямым на карте, а по дугам на поверхности Земли.

Теория относительности Эйнштейна использует искривлённое пространство-время - массивные объекты вроде Солнца искривляют пространство вокруг себя, и это объясняет гравитацию.

Какие бывают типы геометрии?

Всего есть 3 основных типа геометрии (и 5 остальных которые выходят из следствия предыдущих 3)

Риманова геометрия (эллиптическая)

Риманова геометрия - это геометрия положительно искривлённых пространств.

Классический пример - поверхность сферы, где «прямыми» являются большие окружности (экватор, меридианы), параллельных линий не существует, а сумма углов треугольника больше 180°.

Интуитивно можно подумать, что другие широты параллельны экватору, но это не так. Параллели широты (кроме экватора) — это малые окружности, плоскость которых не проходит через центр сферы. Они не являются геодезическими, то есть не дают кратчайшего расстояния между точками. Поэтому в римановой геометрии они считаются кривыми, а не прямыми линиями.

Почему сумма углов треугольника > 180°

Представьте треугольник на глобусе: начните от Северного полюса, спуститесь по меридиану до экватора, пройдите вдоль экватора на четверть окружности, и вернитесь обратно к полюсу по другому меридиану.

Что получилось? Треугольник с тремя прямыми углами — сумма 270°!

Почему так? На сфере «прямые линии» изгибаются вместе с поверхностью. Когда мы соединяем точки кратчайшими путями, углы «раздуваются» из-за кривизны пространства. Чем больше треугольник, тем больше сумма его углов.

Длина окружности / диаметр <

На плоскости это отношение всегда равно ≈ 3.14. Но на сфере всё иначе.

Нарисуйте окружность вокруг Северного полюса (например, полярный круг). Её диаметр — это расстояние через полюс от края до края, измеренное по поверхности сферы. Из-за кривизны этот путь длиннее, чем если бы мы мерили «напрямик» сквозь сферу.

Получается: диаметр увеличивается быстрее, чем длина окружности. Поэтому отношение меньше .

Предельный случай: окружность вокруг всей сферы (экватор). Её «диаметр» по поверхности —

это путь через полюс, равный половине окружности сферы. Тогда !

Гиперболическая геометрия

Если геометрия Римана - это геометрия на выпуклой поверхности (сфере), то гиперболическая геометрия - это геометрия на отрицательно искривленном пространстве. Представьте седло для лошади или чипсы: поверхность изгибается вверх в одном направлении и вниз в другом.

Почему бесконечно много параллельных прямых?

Возьмите прямую линию и точку вне ее.

• В обычной геометрии через эту точку можно провести ровно одну параллельную. 

• На сфере — ноль (все прямые пересекаются).

• А в гиперболической геометрии? Бесконечно много!

Как это работает:

• Есть две предельные параллельные — они асимптотически приближаются к исходной прямой, но никогда не пересекают ее

• Между ними — бесконечно много расходящихся прямых, которые тоже не пересекают исходную линию

Почему так происходит?

Пространство «расширяется» быстрее, чем на плоскости. Если идти перпендикулярно от прямой, расстояние между линиями растёт экспоненциально. Прямые как бы «убегают» друг от друга, поэтому их можно провести сколько угодно, и они не встретятся.

Аналогия: ��редставьте, что вы стоите в центре воронки, которая расширяется во все стороны. Линии, которые кажутся параллельными в центре, расходятся всё дальше по мере удаления — и таких направлений бесконечно много.

Сумма углов треугольника < 180°

В гиперболическом пространстве треугольники словно «сжимаются». Если нарисовать треугольник на седловидной поверхности, его углы окажутся меньше, чем на плоскости.

Почему так? Пространство изогнуто «отрицательно» — оно расширяется во все стороны. Когда мы соединяем три точки кратчайшими путями (геодезическими), эти линии «выгибаются наружу» из-за кривизны. Углы при вершинах становятся острее.

Удивительный факт: чем больше треугольник, тем меньше сумма его углов! Для огромных треугольников сумма может приближаться к 0°. А по разнице (180° − сумма углов) можно вычислить площадь треугольника.

Длина окружности / диаметр >

На отрицательно искривленном пространстве отношениеувеличивается с увеличением.

Почему? Пространство расширяется экспоненциально при удалении от центра. 

Диаметр растёт линейно, а длина окружности — экспоненциально. Поэтому отношение становится всё больше и больше.

Это хорошо можно показать:

Где гиперболический синус:

Для маленьких окружностей ≈ (почти как на плоскости), но для больших окружностей → ∞.

Итоги