Заменив самое фундаментальное понятие в топологии, Питер Шольце и Дастин Клаузен сделали первый шаг в гораздо более масштабной программе по изучению того, почему числа ведут себя именно так.
Позволим себе начать с самой избитой шутки в математике: тополог — это тот, кто не может отличить кофейную чашку от пончика. Видите ли, в обоих есть дырка.
Топологию обычно описывают как своего рода геометрию «резинового листа», в которой две фигуры считаются одинаковыми, если одну можно растянуть или сжать до размеров другой, не порвав при этом. Но в этом описании упускается один важный момент: как топологи и многие другие математики, использующие их методы, строго учитывают все эти деформации? Они не смотрят на пончик и кофейную чашку, щурясь, и не говорят себе: «Конечно, я интуитивно понимаю, как засунуть одно в другое, значит, они одинаковые». Вместо этого они описывают форму так, чтобы «забыть» о расстоянии, но при этом гибко учитывать базовую структуру, позволяя ей изгибаться и растягиваться.
Когда более 100 лет назад были разработаны эти «топологические пространства», они сыграли важную роль в революционных изменениях в логике и теории множеств, ознаменовавших переход от математики XIX века к современной. Их появление стало переломным моментом в неумолимом движении математики от чисел и фигур, с которыми люди сталкиваются в повседневной жизни, к все более абстрактным сферам мысли. С тех пор топологические пространства стали основой для огромного пласта математических теорий. Если представить математику в виде небоскрёба, то топологические пространства — это бетонные сваи, вбитые глубоко в фундамент здравого смысла, на котором в конечном счёте держится вся математика.
Однако, как ни странно, топологические пространства оказываются крайне неподходящим инструментом для значительной части современной математики: в них неудобно работать с алгеброй, а это как раз то, что так нравится математикам.
В течение многих лет математики считали, что им просто придется смириться с ограничениями, присущими топологическим пространствам. Если вы работаете на 87-м этаже небоскреба, то ремонт фундамента в цокольном этаже — задача не из легких.
Однако за последнее десятилетие Петер Шольце из Математического института Общества Макса Планка в Бонне и Дастин Клаузен из Института перспективных научных исследований во Франции попытались найти замену топологическим пространствам. Они определили новую категорию математических объектов — конденсированные множества, которые напоминают своего рода бесконечно мелкую пыль и сохраняют все лучшие свойства топологических пространств, но лишены их недостатков. Оказывается, пыль — более подходящий материал для фундамента, чем каменистая, хорошо изученная почва топологических пространств.
«Они решают проблему, о существовании которой мы даже не подозревали, — сказал Рави Вакил, математик из Стэнфордского университета и президент Американского математического общества, — потому что у нас уже были решения, которые мы считали разумными». В результате «целый пласт математики стал намного проще».
Это амбициозный проект. Новые определения и концепции, предложенные Шольце и Клаузеном, эффективны, но в то же время сложны для понимания. Шольце, со своей стороны, не уверен, что они получат широкое распространение. С другой стороны, он считает, что это лишь первый шаг в гораздо более масштабной программе по изучению того, почему числа ведут себя именно так, а не иначе.
Заниматься математикой — это немного похоже на скалолазание: как маршрут, пролегающий по отвесной стене, может включать в себя творческие и даже элегантные решения, так и доказательство может быть таким же. И то, и другое — преодоление существующего ландшафта. Большинство исследований — даже самых лучших — сводятся к поиску новых путей к уже известным вершинам. Но в математике существует странная связь между оборудованием и ландшафтом, как будто разработка нового типа ледоруба приводит к появлению доселе неизвестных горных хребтов. По мере того как на горизонте появляются новые хребты, старые горы, которые казались неприступными, начинают походить на пологие холмы.
Разработка этих новых инструментов требует определенной революционной смелости — особенно когда приходится отказываться от инструментов, которые так долго использовались в сообществе, что стали его неотъемлемой частью.
Точка возврата к знанию
Можно открыть важные математические истины, даже не имея подходящего языка для работы.
Иными словами, топология появилась раньше топологических пространств. Еще в 1735 году Леонард Эйлер доказал, что невозможно обойти весь Кенигсберг (где он жил), пройдя по каждому из семи мостов только один раз. Это классический топологический результат: размер каждого из участков города не имеет значения, как и длина мостов между ними. Значение имеет только то, как они соединены друг с другом.
Почти 200 лет исследования в области топологии продвигались урывками. В середине XIX века Август Фердинанд Мёбиус проанализировал ленту, названную в его честь: ленту, скрученную один раз, прежде чем ее концы соединили. Пожалуй, это самый странный топологический объект, который нашел практическое применение в реальном мире — например, в односторонних конвейерных лентах, которые равномерно изнашиваются, приводя в движение машины. Примерно в то же время Мёбиус начал выдвигать некоторые ключевые идеи в этой области, например о том, как классифицировать фигуры с разным количеством отверстий, рассматривая, как на них можно нарисовать петли.
Вскоре после этого Бернхард Риман, Анри Пуанкаре и другие ученые добились новых успехов. Но им не хватало подходящего языка для описания своих идей. Как писал австралийский математик Джон Стиллвелл в 2009 году о новаторской работе Пуанкаре в области топологии: «Наряду с великими прорывами в этой области была и путаница». У Пуанкаре были идеи, для выражения которых ему не хватало слов.
Человеку со стороны может показаться, что ближе всего к топологии стоит геометрия. Кажется, что топология и есть геометрия, только с гибкими объектами вместо жестких. Но решение проблемы, с которой столкнулся Пуанкаре, следует искать не в геометрии, а в зарождающейся области логики под названием теория множеств.
На рубеже XIX и XX веков исследователи пытались поставить математику на более прочную основу. Они только недавно осознали, что их повседневные представления о числах совершенно неверны; теперь же они горячо спорили о том, на каких аксиомах, или очевидных истинах, следует строить свои теории. Казалось бы, незначительные различия в формулировках самых простых предположений оказывали огромное влияние на то, что можно было доказать, а что нет.
Для разрешения споров о фундаментальных основах математики они использовали теорию множеств. В 1912 году Феликс Хаусдорф, который незадолго до этого начал преподавать в Боннском университете — там, где спустя несколько поколений будет работать Шольце, — приступил к написанию первого всеобъемлющего труда по теории множеств. В то время Хаусдорф, которому тогда было за 40, уже был состоявшимся писателем: под псевдонимом Поль Монгре он опубликовал сборник стихов, две философские книги, в которых пытался примирить идеи Ницше и Канта, а также пьесу, которая была поставлена в 40 городах. Как математик он был успешен, но еще не стал суперзвездой.
Ситуация изменилась после выхода в 1914 году его книги «Основы теории множеств». В ней он впервые описал топологические пространства. Топологическое пространство — это просто совокупность элементов, которые сгруппированы в то, что Хаусдорф называл окрестностями, а сегодня известно как открытые множества. Открытые множества задают структуру пространства.
Открытые множества должны удовлетворять всего двум условиям. Во-первых, любая комбинация открытых множеств также должна быть открытым множеством. (Если Бруклин образует район, а Квинс — другой район, то Бруклин и Квинс вместе должны считаться одним большим районом.) Во-вторых, любое конечное пересечение открытых множеств также должно быть открытым множеством.
Топологические пространства могут быть конечными или бесконечными. Они могут кодировать сложную структуру или не кодировать никакой структуры. По словам Шольца, топологические пространства — это «просто всё. Если у вас есть интуитивное представление о том, что точки могут быть близко друг к другу, значит, у вас есть топология».
Рассмотрим более знакомый объект — числовую прямую. Когда мы думаем о том, как числа соотносятся друг с другом, мы имеем в виду только одно топологическое пространство — так называемую стандартную топологию, в которой каждый возможный интервал (не считая его конечных точек) образует окрестность, или открытое множество. Все эти интервалы являются открытыми множествами:
Но вместо этого можно взять числа, с которыми вы привыкли работать, забыть о привычной интуитивной трактовке и определить для них совершенно другие топологические пространства. Если представить каждое число в виде книги в библиотеке, то это будет похоже на то, как если бы вы сняли все книги с привычных полок и расставили их совершенно по-другому.
Например, можно скомкать числовую прямую в шарик и сжать его до такой степени, чтобы все числа были максимально приближены друг к другу
Это все равно что свалить все книги в беспорядочную кучу. Связи между книгами — например, что все исторические романы стоят на одной полке и так далее — теряются, потому что теперь все книги находятся рядом. Это называется недискретной топологией, и мы создаем ее, объявляя, что существует только два открытых множества: пустое множество и вся числовая прямая.
Другой крайностью является «дискретная» топология, в которой каждая точка образует собственную окрестность.
В каком-то смысле старая шутка про пончик и кофейную чашку не совсем верно отражает возможности топологического . Дело не столько в том, что можно менять расстояния, растягивая или сжимая объекты. Дело в том, что можно осмысленно рассуждать о структуре в пространствах, где расстояния просто не существует.
Таким образом, топологические пространства позволили исследовать новые области математики. Например, они дали новый, не зависящий от расстояния способ понимания таких концепций, как непрерывность и связность, что является чрезвычайно мощной и парадоксальной способностью. Это позволило математикам обобщить эти идеи на гораздо более широкий спектр задач и доказать важные теоремы в самых разных областях. Например, такие результаты, как фундаментальная теорема алгебры, доказательство которой поставило в тупик даже таких гигантов математики, как Карл Фридрих Гаусс, в итоге получают очень простые доказательства с использованием топологических аргументов.
Появление понятия топологического пространства также побудило математиков задаться новыми вопросами, о которых они, возможно, и не подумали бы. Как и в случае с любым хорошим математическим определением, топологические пространства не только открыли новые горизонты, но и значительно упростили изучение уже известных.
Книга Хаусдорфа, возможно, стала началом современной топологии. Как позже напишет математический коллектив, известный как «Бурбаки», тщательно подобранные определения Хаусдорфа придали «его теории необходимую точность и полноту. Глава, в которой он выводит следствия из этих аксиом, остается образцом аксиоматической теории — абстрактной, но опережающей свое время».
Всего лишь капля воды в бескрайнем море
Современная математика включает в себя множество дисциплин. У каждой из них свой словарный запас, грамматика и интеллектуальный стиль. Но они никогда не существуют изолированно друг от друга — они странным образом взаимодействуют. Отчасти это связано с тем, что многие математические объекты, например действительные числа, являются предметом изучения в нескольких дисциплинах: у них есть алгебраическая, аналитическая, комбинаторная и топологическая структуры (и не только!). Часто области пересечения в итоге становятся самостоятельными направлениями исследований.
В 1945 году два американских математика, Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Маклейн, опубликовали смелую статью, которая положила начало совершенно новой дисциплине, известной сегодня как теория категорий. Теория категорий одним махом проложила кратчайший путь между другими существующими областями математики.
Эйленберг и Маклейн определили «категории» как совокупности объектов и отношений (называемых морфизмами) между ними. Например, категория может состоять из множеств и функций, связывающих эти множества друг с другом, или из векторных пространств и линейных отображений, преобразующих одно векторное пространство в другое.
Но истинная сила теории этой пары заключалась в следующем уровне абстракции, который они предложили: что, если, задавались они вопросом, сопоставить одну категорию с другой с помощью так называемого функтора? Функтор упорядоченно преобразует объекты в объекты, а морфизмы — в морфизмы. Другими словами, он не просто позволяет переводить из одной группы объектов в другую, но и сохраняет связи между ними, позволяя связывать между собой различные области математики.
Помимо прочего, Эйленберг и Маклейн хотели связать топологию с другими разделами математики. Уже было известно, что топология не очень хорошо сочетается с одной из важнейших областей математики — алгеброй. Хотя «топология стала огромным подспорьем для алгебры», по словам Кларка Барвика из Эдинбургского университета, она также «препятствовала прогрессу, потому что топология и алгебра не очень хорошо сочетаются друг с другом из-за особенностей построения топологии».
Теория категорий быстро переходит от утверждений, которые кажутся очевидными, к мощным математическим выводам, основанным на том, что ее приверженцы с любовью называют «абстрактной чепухой». Некоторые категории обладают особыми свойствами, которые делают их более полезными для математиков, чем другие. В этих категориях абстрактная чепуха становится мощным инструментом, а в других категориях она так и остается чепухой.
В топологии можно определить категорию, состоящую из топологических пространств и непрерывных отображений между ними. В алгебре важной категорией являются абелевы группы — группы, обладающие полезной симметрией. Если вы хотите создать всеобъемлющий синтез топологического поведения алгебраических объектов или, наоборот, показать, как алгебраические соображения влияют на топологические конструкции, то естественным решением будет сформировать категорию из объектов, обладающих как топологической, так и алгебраической структурой, — топологических абелевых групп.
Но топологическим абелевым группам не хватает тех особых свойств, которые нужны теоретикам категорий. Если бы теория категорий открыла доселе скрытую сеть дорог, соединяющих разные математические области, то топологи, которые хотели бы проехать по этой дороге, застряли бы в дребезжащей машине, которая постоянно ломалась бы и требовала ремонта.
Именно эту проблему пытались решить Шольце и Клаузен. Как сказал мне Шольце, «я думаю, что топологи на самом деле не любят топологические пространства, потому что это неудобная категория». Что, если бы они могли определить новые объекты, которые заменили бы топологические пространства, — объекты, которые сохранили бы их мощь, но при этом создали бы более совершенную категорию, которая наконец позволила бы математикам связать топологию с алгеброй и другими областями?
Самые милые революционеры
Иногда кажется, что новые идеи вот-вот ворвутся в мир.
В 2013 году Шольце было 25 лет, и он уже был известен как глубокий математический мыслитель, которого называли самым молодым профессором в Германии.
Он и Бхаргав Бхатт, в то время работавший научным сотрудником в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси, стали соавторами статьи, в которой предложили новое определение для определенного типа категорий. Попутно они дали определение довольно сложному математическому понятию — «пучок на проэтале точки». В то время Шольце не придал этому особого значения. Эти наборы, которые они не назвали, «казались странным аспектом сюжета, который я не до конца понимал», — сказал мне Шольце.
В то время Клаузен заканчивал работу над докторской диссертацией в Массачусетском технологическом институте. Проработав пять лет постдоком в Копенгагенском университете, в 2018 году он переехал в Бонн, чтобы работать с Шольце, который незадолго до этого получил Филдсовскую премию — высшую награду в области математики. Клаузен независимо от Шольце пришел к тому же набору решений, но по другим причинам, и убедил его, что им стоит изучить его более подробно. К этому времени, вспоминал Шольце, Клаузен увидел потенциальную возможность заменить топологические множества.
Примерно в то же время Барвик и его тогдашний студент Питер Хейн независимо друг от друга предложили несколько иное определение, чтобы ответить на интересующий их вопрос из теории категорий. «Мы хотели решить одну проблему, — сказал Хейн. — Мы понимали, что эта теория может быть полезна во многих областях, но больше всего нам хотелось доказать конкретный результат, обобщающий то, что мы делали раньше».
С другой стороны, о Клаузене и Шольце он сказал: «Думаю, они хотели сделать гораздо больше».
Так и вышло. Они дали своим наборам название — «сжатые множества» — и приступили к работе. Они не публиковали промежуточные результаты. Вместо этого в апреле 2019 года Шольце начал читать лекции по «сжатой математике» в Боннском университете, а в мае опубликовал 77-страничный набор заметок, в котором представил новое элегантное доказательство важной теоремы, называемой когерентной двойственностью. Как вспоминает Йохан Коммелин, который впоследствии сотрудничал с Шольце, «до этого у когерентной двойственности было крайне запутанное и сложное с технической точки зрения доказательство». Доказательство Шольце и Клаузена было простым и элегантным.
По словам Коммелина, это «дало людям стимул сказать:
«Давайте организуем читательские группы и учебные семинары по всему миру, чтобы разобрать эти конспекты лекций и понять, что происходит».
Коммелин организовал одну такую группу во Фрайбургском университете, но это было непросто. «Не думаю, что кто-то в нашей группе понял все детали», — сказал он.
По словам Шольце, хотя свёрнутые множества изначально создавались как инструмент для доказательства полезных результатов, они быстро превратились в нечто большее.
«Лично для меня свёрнутые множества изменили фундаментальные представления о математике», — сказал он. «Замена топологической перспективы на сжатую, — добавил он, — проникает во все, что я делаю».
Джеффри Бергфальк, специалист по теории множеств из Барселонского университета, вспоминает, как впервые встретился с Шольце и Клаузеном в 2019 году после того, как он и его коллега по теории множеств Крис Лэмби-Хэнсон из Чешской академии наук опубликовали в интернете техническую статью. Специалисты по теории множеств образуют очень небольшое и сплочённое сообщество, несколько обособленное от основного математического сообщества. «Мы ожидали ответа только от тех, кого знали», — сказал Бергфальк. Но они получили электронное письмо от Клаузена, который обратил внимание на статью. В письме говорилось, что они с Шольце размышляли о подобных вещах в контексте конденсированной математики — зарождающейся области, о которой ни Бергфальк, ни Ламби-Хэнсон не слышали.
Бергфальку потребовалось некоторое время, чтобы осознать масштаб амбиций Шольце и Клаузена в области сжатой математики. «Дастин и Питер были очень отзывчивыми, классными и коммуникабельными, — сказал он. — Они могли бы быть и не такими милыми». И хотя Шольце и Клаузен работали далеко за пределами своей области знаний, Бергфальк отметил, что они задавали вопросы, которые, казалось бы, могли интересовать только специалистов по теории множеств.
«Они просили нас мыслить в том направлении, в котором мы и так хотели бы мыслить, — сказал он. — А это означало, что нам нужно было освоить сжатую математику».
Для двух людей, переосмысливающих значительную часть математики XX века, Клаузен и Шольце ведут себя скромно. «По большей части я просто пересказываю своими словами то, что сделали другие, — сказал Шольце математику Марии Якерсон в интервью 2021 года. — Меня не особо интересуют теоремы и доказательства». По его словам, он хотел дать новые определения: «Они должны упрощать формулировку интересных теорем и их доказательство». Шольце не считает себя творцом. По его словам, он просто «пытается дать названия тому, что уже существует».
Клаузен, со своей стороны, как он сказал Якерсону в отдельном интервью примерно в то же время, избегает публикации статей, поскольку считает, что научная издательская индустрия в корне несовершенна. Он также старается не писать даже неофициальные отчеты о результатах, оставляя это своим коллегам. Он хочет сосредоточиться на математике и, как и Шольце, постоянно ищет подходящие названия и формулировки. (В какой-то момент он даже подумывал о карьере литературного переводчика.)
«Меня никогда полностью не убеждали топологические пространства», — сказал Клаузен. Они не давали ему понимания «этого мира, этого богатого мира, который мы пытаемся постичь, но у нас нет подходящего языка, чтобы о нем говорить».
Но это только еще больше его мотивировало. «Я очень рад, что не понимаю, — сказал он, — потому что буду еще счастливее, когда наконец пойму».
Строя на зыбком фундаменте
Вот тут-то и приходят на помощь свёрнутые множества. Свёрнутые множества можно рассматривать как своего рода рецепт создания непрерывных объектов, таких как действительные числа, из «полностью несвязанных» пространств — по словам Шольце, это всё равно что испечь пирог из отдельных крупинок муки и сахара.Возьмем так называемое множество Кантора. Начнем с отрезка, содержащего все действительные числа от 0 до 1, и удалим среднюю треть. Затем удалим среднюю треть из оставшихся отрезков. Повторяйте этот процесс бесконечно много раз, и в итоге у вас останется «пыль» из точек. Ни одна точка не будет находиться рядом с другой. Пространство точек полностью несвязно.
Такая пыль может показаться чем-то чуждым, но Шольце отмечает, что мы постоянно с ней сталкиваемся. Например, когда вы представляете числа в виде десятичных дробей, вы, по сути, воспринимаете их как своего рода пыль. Это все равно что взять каждое число в десятичной дроби и вырезать его часть из числовой прямой, вот так:
Таким образом, получение заданного числа на самом деле представляет собой бесконечное «препарирование» числовой прямой. Как выразился Шольце, «десятичная запись описывает полностью разобщенное пространство, потому что с каждой новой цифрой вы все больше и больше дробите свою прямую». Каждое число полностью обособлено от всех остальных.
Как же тогда можно использовать такой несвязный набор, чтобы получить непрерывный объект, например привычную нам числовую прямую? Нужно соединить все несвязные сегменты, приравняв, скажем, 0,49999999999999999… к 0,5 (а 0,50999999999999999… к 0,51 и так далее).
Сжатые множества Шольце и Клаузена устроены схожим образом: они несвязны, но их можно использовать для построения и изучения непрерывных объектов, например тех, которые изучаются в топологии. И если начать с них, а не с топологических пространств, можно получить дополнительное преимущество: как объяснил Шольце, «эти полностью несвязные части чрезвычайно просты для алгебраического описания».
Сжатые множества образуют особый тип категории, который, по словам Хуана Эстебана Родригеса Камарго, коллеги Шольце по Институту математики Общества Макса Планка, наконец-то позволяет объединить топологию, алгебру и другие области «очень практичным и точным образом».
Шольце и Клаузен начали с того, что с помощью своих сжатых множеств перепроверили старые результаты, которые ранее основывались на топологических пространствах, — например, фундаментальную теорему алгебры. По словам Вакила, эти новые доказательства дали математикам новое понимание, «подгоняемое под их нужды».
Затем пара решила пойти еще дальше.
Краткая история
С 2019 года Шольце и Клаузен продолжают создавать новые типы структур на основе своих сжатых множеств и делиться новыми конспектами лекций. «Идеи развивались в Бонне гораздо быстрее, чем остальной мир успевал их осмыслить», — говорит Коммелен. Появились «легкие» сжатые множества, а также твердые, затем жидкие и, наконец, газообразные пространства — целая область сжатой математики.
Ни Клаузен, ни Шольце не считают себя топологами. Если бы эти двое не были так дружны, а их идеи не были бы столь эффективными, их попытка перестроить основы науки, в которой они не специализируются, могла бы вызвать недовольство. «Я бы не хотел ничего навязывать», — сказал Шольце, когда его спросили, какое, по его мнению, влияние окажет «конденсированная математика». Судя по всему, они с Клаузеном просто развлекаются, пытаясь придумать идеи, которые сами считают полезными.
Но некоторые математики сравнивают эту работу с аналогичной математической революцией, произошедшей в 1950–1960-х годах, когда Александр Гротендик переосмыслил область алгебраической геометрии в соответствии с теорией категорий, значительно расширив ее охват и возможности. Влияние Гротендика на современную математику было колоссальным. А теперь, по словам Дагура Асгейрссона, постдока из Университета Альберты и бывшего аспиранта Клаузена, «я думаю, что в этом смысле Питера можно сравнить с Гротендиком. Он как будто заново изобретает все на свете».
«Что меня по-настоящему воодушевляет в области конденсированных сред, так это возможность определить новые объекты для изучения, — говорит Барвик. — Это как если бы вам показали целый класс объектов, на которые вы раньше не обращали внимания, как на неизведанную гору. Мы только осваиваем эту обширную территорию».
В одном из сборников лекций Клаузен и Шольце цитируют известное высказывание выдающегося математика Дэвида Мамфорда. По его словам, область алгебраической геометрии, которой занимался Мамфорд, «приобрела репутацию эзотерической, элитарной и очень абстрактной, а ее приверженцы втайне замышляют захватить всю остальную математику». Далее Клаузен и Шольце отметили, что их план состоял в том, чтобы использовать сжатую математику — такую же эзотерическую, эксклюзивную и абстрактную, — чтобы продолжить начатое. Они не совсем шутили.
Тем не менее их не столь тайное «завоевание математики» продолжается. За последние несколько лет Клаузен и Шольце ввели в обиход другие новые математические объекты, такие как «аналитические стеки» и «гештальты». Некоторые математики считают их даже более значимыми, чем сжатые множества.
Шольце подозревает, что конденсированная математика может оказаться полезной даже в областях, далеких от их с Клаузеном основного интереса — теории чисел. Квантовая теория поля — центральный аспект современной физики, которая долгое время испытывала трудности с поиском фундаментальных основ, — использует очень сложную алгебру и теорию категорий, отметил Шольце.
«В то же время, — добавил он, — квантовые теории поля по своей природе очень аналитичны и топологичны. Смешать эти два мира — задача нетривиальная, но конденсированная математика дает для этого возможность».
Работы Шольце и Клаузена показывают, насколько важен правильный выбор языка — как переосмысление концепций позволяет легче преодолевать уже пройденный путь и открывать новые математические горизонты. «Попытка докопаться до сути этих явлений — это попытка найти язык, на котором их можно выразить», — говорит Шольце.
В мемуарах, опубликованных в конце жизни, Гротендик называл математиков строителями, хотя и утверждал, что они ничего не изобретают, а лишь находят уже существующие структуры, которые только и ждут, чтобы их открыли. Он писал: «Самый красивый дом — тот, в котором любовь строителя проявляется наиболее явно, — не обязательно больше или выше остальных. Скорее, дом красив, если он точно отражает структуру и красоту, скрытые в вещах».
-
Много интересного - в телеграм "Математика не для всех"
-
Взгляд на философию со стороны технаря - телеграм "Философия не для всех"
Автор: andreybrylb
