Облако своими руками для расчета пространственных стержней методом конечных элементов на Node js, React js и Three js

2026-04-11 в 8:16, admin, рубрики: glsl, mobx, node.js, WebGL, инженерия, МКЭ, расчеты на прочность, сопромат

Моделирование пространственных стержневых систем

ammonit.xyz

ammonit3d в каталоге RuStore

www.rustore.ru

В данной статье (а возможно цикле статей) речь пойдет о собственной разработке облачного SPA приложения по моделированию пространственных стержневых систем методом конечных элементов с численно-аналитическим решением для инженеров-проектировщиков в основе которого математическая модель Эйлера-Бернулли, вариационные принципы и итерационный метод сопряжённых градиентов применяемый для большеразмерных СЛАУ с разреженной матрицей жёсткости с одной стороны, и JavaScripts экосистема облака, выполненного в стеке Node js, Express js бэкенд части, и React js, MobX, Three js, glsl shaders фронтенд части с другой стороны. Отображение эпюр усилий в пространственных стержневых элементах реализовано на шейдерах vertexShader и fragmentShader. Это позволяет вычислять эпюры для каждого стержня на лету и выполнять отображение графиков (в общем случае полиномов 5 степени) в пространстве мгновенно.

Клиентская часть представляет собой одностраничное SPA приложение с возможностью регистрации новых пользователей, профиля пользователя для управления приватными моделями, списком публичных моделей и основного интерфейса приложения, который состоит из навигационной панели и окна 3Д сцены. Веб приложение построено на адаптивной вёрстке. Это позволяет организовать удобное отображение элементов интерфейса на мониторах, планшетах и смартфонах.

Математическая модель Эйлера-Бернулли

Тех кого мало интересует математическая или механическая основа модели, обыкновенные дифференциальные уравнения и различные формульные выкладки советую пропустить этот раздел. Как было упомянуто выше, в основе численно-аналитического решения пространственных стержней (балок, ферм, рам, пространственных связей) методом конечных элементов лежит механическая модель изогнутой балки или стержня длиной L с заданной изгибной жёсткостью EJ на которую действуют сосредоточенная сила F или момент M, а также распределённая сила q(x) или момент m(x) по длине стержня, продольная ось которого x1, вертикальная x2 проходит через начало стержня и x3 направлена на нас из точки пересечения x1, x2. Полагая сечения плоскими до и после изгиба, а также одноосное деформированное состояние, то уравнение изогнутой оси стержня записывается в виде обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения 4-го порядка:

$EJ_3 dfrac{d^4v}{dx^4}=q(x) - dfrac{dm}{dx}, quad q(x)=kx + q_0, quad m(x)=rx + m_0,quad xin[0,L],$

общее решение которого состоит из частного решения правой части (первые два слагаемых) и решения однородного дифференциального уравнения:

$v(x)=dfrac{kx^5}{120EJ_3}+dfrac{(q_0-r)x^4}{24EJ_3}+a_4x^3+a_3x^2+a_2x+a_1,$

Если записать граничные условия

$begin{equation}begin{cases}begin{array} , v(0)=v^1,quad v,_1(0)=varphi^1,\v(L)=v^2, quad v,_1(L)=varphi^2,end{array}end{cases}end{equation}$

то неизвестные коэффициенты можно выразить через свёртку (сумму произведений) прогибов вдоль x2 и поворотов вокруг x3 на концах изгибаемой балки с эрмитовыми полиномами N:

$begin{array} , v(x)=dfrac{k}{EJ_3}(dfrac{x^5}{120}-dfrac{x^3L^2}{40}+dfrac{x^2L^2}{60})+dfrac{q_0-r}{EJ_3}(dfrac{x^4}{24}-dfrac{x^3L}{12}+dfrac{x^2L^2}{24})+N_p^ialpha_i^p,\N_p^1alpha_1^p=(dfrac{2x^3}{L^3}-dfrac{3x^2}{L^2}+1),v^1 + (-dfrac{2x^3}{L^3}+dfrac{3x^2}{L^2}),v^2,quad i=1,2, quad p=1,2,\ N_p^2alpha_2^p=(dfrac{x^3}{L^2}-dfrac{2x^2}{L}+x),varphi^1 + (dfrac{x^3}{L^2}-dfrac{x^2}{L}),varphi^2,quad alpha_1^p=v^p, quad alpha_2^p=varphi^p. end{array}$

В случае одноосного деформированного состояния для изотропного материала из функционала Лагранжа можно получить СЛАУ относительно прогибов и углов поворота на концах для данного стержневого элемента:

$K_{pq}^{ij}alpha_j^q=F_p^i,quad K_{pq}^{ij}=EJ_3 int_0^L N_{p,_{11}}^iN_{q,_{11}}^j dx, quad F_p^i=int_0^L [q(x) N_p^i + m(x) N_{p,_{1}}^i] dx + f_p^i,$ $N_{p,_1}=dfrac{dN_p}{dx},quad N_{p,_{11}}=dfrac{d^2N_p}{dx^2},quad F_p^1=F_p, quad F_p^2=M_p,$ $dfrac{EJ_3}{L^3}begin{bmatrix} 12&6L&-12&6L\ 6L&4L^2&-6L&2L^2\-12&-6L&12&-6L\6L&2L^2&-6L&4L^2end{bmatrix} leftlbrace begin{matrix}v^1\ varphi^1\v^2\ varphi^2 end{matrix}rightrbrace=leftlbrace begin{matrix} F_1\M_1\F_2\M_2 end{matrix}rightrbrace$

Здесь Fp, Mp - узловые силы и моменты, заданные изначально. При этом СЛАУ записаны в локальной системе координат в плоскости 0xy. Аналогичные уравнения можно выписать в плоскости 0zx. Для связи локальной и глобальной области обычно используется матрица ортогональных преобразований (для которой обратная матрица равна транспонированной), компоненты которой являются координатами i,j,k локального базиса в глобальной системе координат. Матрицу жёсткости К в глобальной системе координат можно получить из локальной, если выписать квадратичную часть функционала Лагранжа в терминах глобальных прогибов и поворотов:

$leftlbrace begin{matrix} alpha_i^p=a_{im} beta_m^p, \ alpha_j^q=a_{jn}beta_j^q,end{matrix}right. , Rightarrow ,alpha_i^p K_{pq}^{ij} alpha_j^q=a_{im}beta_m^p K_{pq}^{ij} a_{jn}beta_n^q, , Rightarrow mathbb{K}_{pq}^{mn}beta_n^q=F_p^m$ $mathbb{K}_{pq}^{mn}=a_{im}^T K_{pq}^{ij} a_{jn}, quad a_{ij}=begin{bmatrix}ix&iy&iz\jx&jy&jz\kx&ky&kzend{bmatrix}.$

Таким образом можно составить глобальную СЛАУ и найти неизвестные узловые прогибы (перемещения) и повороты. В этом и заключается основная идея метода конечных элементов. Далее, зная узловые перемещения и повороты в глобальной системе координат можно с помощью матрицы (a) транспонированной перейти к локальным перемещениям (прогибам) и поворотам в узлах и восстановить аналитическую функцию прогиба, функцию момента и поперечной силы:

$M_3(x)=-EJ_3dfrac{d^2v}{dx^2}, quad Q(x)=-dfrac{dM}{dx} - m(x).$

Кто более подробно интересуется построением данной математической модели может оставить комментарий.

В качестве примера представлена иллюстрация одной из публичной конечно-элементной модели с эпюрами прогибов, моментов и поперечных сил, найденных численно-аналитическим методом в рамках гипотезы Эйлера-Бернулли.