Посвящается памяти Джона Форбса Нэша-младшего
Вы ведь помните, что такое «простые числа»? Эти числа не делятся ни на какие другие, кроме самих себя и 1. А теперь я задам вопрос, которому уже 3000 лет:
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, p. Чему равно p? 31. Каким будет следующее p? 37. А следующее p ? 41. А следующее? 43. Да, но… как нам узнать, каким будет следующее значение?
Придумайте суждение или формулу, которые (хотя бы с грехом пополам) прогнозируют, каким будет следующее простое число, (в любом заданном ряду чисел), и ваше имя навечно будет связано с одним из величайших достижений человеческого мозга. Вы встанете в один ряд с Ньютоном, Эйнштейном и Гёделем. Разберитесь в поведении простых чисел, и можете потом всю жизнь почивать на лаврах.
Введение
Свойства простых чисел изучались многими великими людьми в истории математики. С первого доказательства бесконечности простых чисел Евклида до формулы произведения Эйлера, связавшей простые числа с дзета-функцией. От формулировки теоремы о простых числах Гаусса и Лежандра до её доказательства, придуманного Адамаром и Валле-Пуссеном. Тем не менее, Бернхард Риман до сих пор считается математиком, сделавшим единственное крупнейшее открытие в теории простых чисел. В его опубликованной в 1859 году статье, состоявшей всего из восьми страниц, были сделаны новые, ранее неизвестные открытия о распределении простых чисел. Эта статья по сей день считается одной из самых важных в теории чисел.
После публикации статья Римана оставалась главным трудом в теории простых чисел и на самом деле стала основной причиной доказательства в 1896 году теоремы о распределении простых чисел. С тех пор было найдено несколько новых доказательств, в том числе элементарные доказательства Сельберга и Эрдёша. Однако до сих пор остаётся загадкой гипотеза Римана о корнях дзета-функции.
Читать полностью »
