Как увидеть ℼ? Нужно швырнуть ℼ в стену

в 11:38, , рубрики: 3blue1brown, Григорий Гальперин, Занимательные задачки, математика, Научно-популярное, Учебный процесс в IT, физика

Лучший способ объяснить школьникам и самому себе, что такое фазовое (конфигурационное) пространство.

image

Дано: Два блока массой 1 кг и 100 (10 000, 1 000 000,… 100x) кг. Трение в системе отсутствует, удары абсолютно упругие (потерь энергии нет). Более массивный блок ударяет менее массивный и тот отскакивает от него а потом от стенки.

Вопрос: Сколько столкновений совершит маленький блок, пока система не придет в состояние, когда столкновения невозможны?

Ответ невероятен:

image

В очередной раз поражаюсь изящности объяснений от 3Blue1Brown. Предлагаю читабельный конспект с небольшими сокращениями и дополнениями.

В случае когда массы равны, мы насчитаем 3 столкновения:

image

Если разница масс в 100 раз, то количество столкновений 31:

image

Если разница масс в 10 000 раз, то столкновений будет 314:

image

+ еще один удар об стенку

Если разница в 1 000 000 раз, то столкновений 3141:

image

Если разница в 100 000 000 раз, то столкновений 31415:

image

Если разница в 10 000 000 000 раз, то столкновений 314159:

image

Эта закономерность была открыта Григорием Гальпериным в 1995 и опубликована в 2003 году:

image

PLAYING POOL WITH ℼ (2003)

Данный метод позволяет построить «физическую» машину вычисления числа ℼ с точностью до n-ного знака. Разница масс должна составлять 100(n-1) раз.

С реализацией, конечно, есть нюансы, ну да ладно. Зато красивая идея.

Throwing ℼ at a wall (2006)

Фазовое/конфигурационное пространство

image

image

Механическая система описывается двумя законами сохранения: энергии и импульса.

Фазовое пространство для энергии системы представляет собой эллипс, но его можно откалибровать корнем из разницы масс:

image

Радиус окружности показывает энергию в системе — она всегда постоянная.

При столкновении двух блоков происходит перераспределение импульса и энергии:

image

image

Закон сохранения моментов задает угол наклона:

image

При ударе об стену (объект бесконечной массы) скорость блока меняется на противоположную:

image

Следующее соударение блоков:

image

Последующие столкновения:

image

Фазовая диаграмма удобна тем, что наглядно кодирует состояние системы:

image

image

Если присмотреться, можно заметить, что «столкновения» делят окружность на равные дуги. По теореме о вписанном угле. Встает вопрос, сколько дуг получится на окружности?

image

Всего длина окружности 2ℼ, а длина дуги определяется половиной угла, который равен соотношению корней из масс блоков (чем больше разница — тем меньше угол). Порядок разницы масс будет определять «точность» ℼ: 3, 31, 314

Источники

Автор: Алексей JetHackers Стаценко

Источник


* - обязательные к заполнению поля


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js