Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

в 7:52, , рубрики: diy или сделай сам, Matlab, математика

Данная статья скорее логическое продолжение моей статьи о балансере: «Создание робота балансера на arduino».
В ней будут очень кратко освещены: простая модель угловой стабилизации квадрокоптера с использованием кватернионов, линеаризация, построение управления для объекта и проверка его в Matlab, а так же проверка на реальном объекте. В качестве подопытного будет выступать Crazyflie 1.0.

Сейчас оно летает так (на момент съемок я не очень правильно выставил управление):


Построение динамической системы

Введем 2 системы координат: локальную, привязанную к земле, и вторую, связанную с коптером.

Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Вращение тела удобнее представлять, используя кватернионы, в связи с меньшим количеством необходимых вычислений. О них написано много статей, в том числе и на хабре. Я рекомендую к прочтению книгу «Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации», спасибо Slovak из центра компетенций Matlab за подсказку.

Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения:

Разработка угловой стабилизации квадрокоптера, где
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера — моменты, действующие на тело,
I — тензор инерции, а
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера — угловые скорости по главным осям(в связанной системе координат).
Таким образом:
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера.

В силу теоремы о приведении тензора инерции к главным осям, тензор инерции представим в виде: Разработка угловой стабилизации квадрокоптера.

Внешние моменты определим через управления: Разработка угловой стабилизации квадрокоптера, где
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Таким образом, уравнения угловых скоростей в связанной системе координат:
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Замечу, что если бы мы учитывали положение коптера, можно было бы не вводить отдельные функции управлений, а сразу использовать в качестве них силы тяги, что удобнее и быстрее при расчетах. В данном случае система стабилизации не имеет никаких данных о необходимой сумме сил тяги, поэтому необходимо использовать именно такие управления…

Сила тяги пропеллера может быть примерно описана как Разработка угловой стабилизации квадрокоптера. Тогда уравнения можно записать через угловые частоты пропеллеров, если вы сможете управлять напрямую частотой моторов и знаете конкретное b:
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера где
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера — углы эйлера
Замечу, что подбор коэффициента b у меня произведен вручную, простым подбором.

Также необходимо выписать уравнение для кватерниона вращения. Из свойств кватернионов следует, что
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера, где Разработка угловой стабилизации квадрокоптера являются угловыми скоростями в связанной с ЛА системе координат, в ней гироскопы измеряют угловую скорость [1].

Попробуем стабилизировать только углы и угловые скорости:
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Или подробнее
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Введем вектор пространства состояний:
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера.
Необходимо заметить, что если в вектор пространства входит компонента Разработка угловой стабилизации квадрокоптера система перестает быть управляемой. Однако мы можем считать, что Разработка угловой стабилизации квадрокоптера и убрать ее из вектора состояний, тем самым уменьшив количество координат [2].

Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Вектор управлений:
Разработка угловой стабилизации квадрокоптера,

Система представима в стандартном виде

Разработка угловой стабилизации квадрокоптера.

В нашем случае

Разработка угловой стабилизации квадрокоптера, а

Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Линеаризация и построение управления

Линеаризируя систему вблизи начала координат получим следующие матрицы A и B:

Разработка угловой стабилизации квадрокоптера,

Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Как и в прошлый раз используем линейно-квадратичный регулятор. Напомню команду Matlab для его расчета:

[K,S,e]=lqr(A,B,Q,R)

Матрицы Q и R являются весовыми матрицами. Q штрафует за отклонение от нуля, а R за расход энергии управлением.
В результате получили матрицу K. В моей матрице коэффициентов все недиагональные элементы были очень малы (порядка 10^-4) и я не стал учитывать их.
Напомню, что для получения управления необходимо умножить матрицу K на вектор X. Конечно, в коде можно не вводить понятие матрицы и просто умножить каждую координату на некоторый коэффициент для быстродействия.

Проверка модели

Для проверки полученных результатов была создана модель в Matlab. Запустим ее с ненулевыми начальными условиями.

Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Первый график показывает как ведут себя угловые скорости, второй — изменение составляющих кватерниона. Заметьте, что скалярная величина кватерниона приходит в единицу, не смотря на то, что она не входит в уравнения линеаризованной системы. Как видно из графиков — модель стабилизируется.

Код

Crazyflie использует систему Free RTOS, где весь код разбит на модули, нас интересует код sensfusion6.c и stabilizer.c.
К счастью, фильтрация показаний акселерометра и гироскопа производится в кватернионах, проблема заключается в том, что сенсоры на коптере расположены для + схемы. Модель же я рассчитывал для X схемы. Отличие заключается только в выборе управлений U1 и U2.

Разработка угловой стабилизации квадрокоптера

Необходимо добавить код получения кватерниона в sensfusion6.c:

void sensfusion6GetQuaternion(float* rq0,float* rq1,float* rq2,float* rq3){
  *rq0=q0;
  *rq1=q1;
  *rq2=q2;
  *rq3=q3;
}

Я не стал добавлять отдельный модуль для LQR регулятора, вместо этого я изменил stabilizer.c. Да, возможно, это и не самый интеллигентный способ, однако для проверки модели он подойдет.

Начать стоит с добавления переменных текущего и желаемого положения аппарата, а так же управлений:

static float q0Actual;
static float q1Actual;
static float q2Actual;
static float q3Actual;

static float q1Desired;
static float q2Desired;
static float q3Desired;

int16_t  actuatorU1;
int16_t  actuatorU2;
int16_t  actuatorU3;

Желаемое положение по q0 не указываем в силу того, что нам не нужно его стабилизировать.

Произведем изменения в код получения команд. Коптер получает угол в градусах, математически правильнее сделать так:

сommanderGetRPY(&q1Desired, &q2Desired, &q3Desired);
      q1Desired=cos((q1Desired/2+90)*0.01745);//*3.14/180/2;
      q2Desired=cos((q2Desired/2+90)*0.01745);
      q3Desired=cos((q3Desired/2+90)*0.01745);

Изменим «быстрый» цикл (250Гц) стабилизатора:

sensfusion6UpdateQ(gyro.x, gyro.y, gyro.z, acc.x, acc.y, acc.z, FUSION_UPDATE_DT);
sensfusion6GetEulerRPY(&eulerRollActual, &eulerPitchActual, &eulerYawActual);
sensfusion6GetQuaternion(&q0Actual, &q1Actual,&q2Actual,&q3Actual);
sensfusion6UpdateP(FUSION_UPDATE_DT);
sensfusion6UpdateV(acc.x, acc.y, acc.z, FUSION_UPDATE_DT);

actuatorU1=50*(1*(-gyro.x)+245*(q1Actual-q1Desired));
actuatorU2=50*(1*(gyro.y)-200*(q2Actual-q2Desired));
actuatorU3=50*(1.5*(gyro.z)+0*(q3Actual-q3Desired));

Подбор коэффициентов произведен опытным путем, так как не было возможности узнать зависимость между посылаемой на моторы командой и силой, которую выдает мотоустановка.

Также я изменил функцию распределения мощностей моторов:

static void distributePower(const uint16_t thrust, const int16_t u2, const int16_t u3, const int16_t u4)
{
  motorPowerM1=limitThrust((thrust/4+u3/2+u4/4)*5);
  motorPowerM2=limitThrust((thrust/4-u2/2-u4/4)*5);
  motorPowerM3=limitThrust((thrust/4-u3/2+u4/4)*5);
  motorPowerM4=limitThrust((thrust/4+u2/2-u4/4)*5);

  motorsSetRatio(MOTOR_M1, motorPowerM1);
  motorsSetRatio(MOTOR_M2, motorPowerM2);
  motorsSetRatio(MOTOR_M3, motorPowerM3);
  motorsSetRatio(MOTOR_M4, motorPowerM4);
}

Заключение

Исходя из того, что коптер стабилизирует свои углы, можно заключить, что математическая модель разработана верно. К сожалению, пока нет возможности получать свои координаты и скорости (интегрирование акселерометра дает огромную ошибку), поэтому коптер не гасит начальную скорость и не возвращается в начальную позицию.
Для решения этой задачи MIT, например, использует камеры и метки на своих коптерах.

Дополнительные материалы и источники

  1. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. «Применение кватернионов в задачах ориентации»
  2. Yaguang Yang «Analytic LQR Design for Spacecraft Control System Based on Quaternion Model»
  3. Ветка модифицированной прошивки на github

P.S. К сожалению, не могу поделиться моделью, а так же рассказать о расширенной модели с автопилотом и координатной стабилизацией в силу того, что это является частью моего будущего диплома, а все дипломы теперь проверяются на новизну и антиплагиат.
P.P.S. Я публикую данную статью на хабре, а не на новом GT в связи с тем, что остальные мои статьи схожей тематики остались именно на хабре.

Автор: Spin7ion

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля