Красно-черные деревья: коротко и ясно

в 10:08, , рубрики: Алгоритмы, красно-черное дерево, структуры данных

История из жизни. Девушка предложила своему парню-программисту пройти психологический тест:

Девушка: Нарисуй дерево.
Программист: (рисует бинарное дерево)
Девушка: Нет, другое.
Программист: Я и красно-черное дерево могу нарисовать.

Итак, сегодня хочу немного рассказать о красно-черных деревьях. Рассказ будет кратким, без рассмотрения алгоритмов балансировки при вставке/удалении элементов в красно-черных деревьях.
Красно-черные деревья: коротко и ясно - 1

Красно-черные деревья относятся к сбалансированным бинарным деревьям поиска.

Как бинарное дерево, красно-черное обладает свойствами:

1) Оба поддерева являются бинарными деревьями поиска.

2) Для каждого узла с ключом $ k $ выполняется критерий упорядочения:

ключи всех левых потомков <= $ k $ < ключи всех правых потомков

(в других определениях дубликаты должны располагаться с правой стороны либо вообще отсутствовать).
Это неравенство должно быть истинным для всех потомков узла, а не только его дочерних узлов.

Свойства красно-черных деревьев:

1) Каждый узел окрашен либо в красный, либо в черный цвет (в структуре данных узла появляется дополнительное поле – бит цвета).

2) Корень окрашен в черный цвет.

3) Листья(так называемые NULL-узлы) окрашены в черный цвет.

4) Каждый красный узел должен иметь два черных дочерних узла. Нужно отметить, что у черного узла могут быть черные дочерние узлы. Красные узлы в качестве дочерних могут иметь только черные.

5) Пути от узла к его листьям должны содержать одинаковое количество черных узлов(это черная высота).

Ну и почему такое дерево является сбалансированным?

Действительно, красно-черные деревья не гарантируют строгой сбалансированности (разница высот двух поддеревьев любого узла не должна превышать 1), как в АВЛ-деревьях. Но соблюдение свойств красно-черного дерева позволяет обеспечить выполнение операций вставки, удаления и выборки за время $O(log N)$. И сейчас посмотрим, действительно ли это так.

Пусть у нас есть красно-черное дерево. Черная высота равна $bh$(black height).

Если путь от корневого узла до листового содержит минимальное количество красных узлов (т.е. ноль), значит этот путь равен $bh$.

Если же путь содержит максимальное количество красных узлов ($bh$ в соответствии со свойством $4$), то этот путь будет равен $2bh$.

То есть, пути из корня к листьям могут различаться не более, чем вдвое ($h<=2log(N + 1)$, где h — высота поддерева), этого достаточно, чтобы время выполнения операций в таком дереве было $O(log N)$

Как производится вставка?

Вставка в красно-черное дерево начинается со вставки элемента, как в обычном бинарном дереве поиска. Только здесь элементы вставляются в позиции NULL-листьев. Вставленный узел всегда окрашивается в красный цвет. Далее идет процедура проверки сохранения свойств красно-черного дерева $1-5$.

Свойство 1 не нарушается, поскольку новому узлу сразу присваивается красный цвет.

Свойство 2 нарушается только в том случае, если у нас было пустое дерево и первый вставленный узел (он же корень) окрашен в красный цвет. Здесь достаточно просто перекрасить корень в черный цвет.

Свойство 3 также не нарушается, поскольку при добавлении узла он получает черные листовые NULL-узлы.

В основном встречаются 2 других нарушения:

1) Красный узел имеет красный дочерний узел (нарушено свойство $4$).

2) Пути в дереве содержат разное количество черных узлов (нарушено свойство $5$).

Подробнее о балансировке красно-черного дерева при разных случаях (их пять, если включить нарушение свойства $2$) можно почитать на wiki.

Это вообще где-то используется?

Да! Когда в институте на третьем курсе нам читали «Алгоритмы и структуры данных», я и не могла представить, что красно-черные деревья где-то используются. Помню, как мы не любили тему сбалансированных деревьев. Ох уж эти родственные связи в красно-черных деревьях («дядя», «дедушка», «чёрный брат и крестный красный отец»), прям Санта-Барбара какая-то. Правые и левые, малые и большие повороты АВЛ-деревьев – сплошные американские горки. Вы тоже не любите красно-черные деревья? Значит, просто не умеете их готовить. А кто-то просто взял и приготовил. Так, например, ассоциативные массивы в большинстве библиотек реализованы именно через красно-черные деревья.

Это все, что я хотела рассказать.

Автор: AnROm

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля