Одним из красивейших математических результатов можно смело считать теорему Эйлера, которая впервые появилась в журнале Петербургской Академии наук в работах Леонарда Эйлера «Элементы учения о телах» и «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».
Читать полностью »
Рубрика «математика на пальцах» - 3
Измерение сопротивления и индуктивности двигателя постоянного тока
2016-11-06 в 14:39, admin, рубрики: c++, kill all humans, математика, математика на пальцах, Программирование, Разработка робототехники, робототехникаПостановка задачи
Есть двигатель постоянного тока. Задача — разработать, собрать и протестировать устройство, позволяющиее реализовать контур тока применительно к этому двигателю. Желаемое время переходного процесса на застопоренном двигателе (без противо-ЭДС) — не более 10мс. Интерфес связи с внешним управляющим контроллером — SPI.
Двигатель постоянного тока, коллекторный, максимальное напряжение 24В, рабочий ток до 5А.
Что значит — контур тока? Самые распространённые драйверы для управления двигателями это всякие вариации полумостов, которые усиливают напряжение. А мне хочется, чтобы драйвер брал на вход не напряжение, а силу тока. Сила, развиваемая электроприводом, прямо пропорциональна силе протекающего тока. А значит, и прямо пропорциональна ускорению на валу двигателя. Такой контур тока позволит избежать извращений, на которые нужно идти без него, как я это делал тут.
Я разбил этот текст на две статьи (вторая будет опубликована через несколько дней):
- 1. Измерение сопротивления и индуктивности двигателя
- 2. Разработка управляющего контура (скоро будет, оставайтесь на связи)
Вот так выглядит макет управляющего железа:
Математика на пальцах: давайте посчитаем хотя бы один ряд Фурье в уме
2016-08-25 в 15:33, admin, рубрики: Занимательные задачки, матан для пятого класса, математика, математика на пальцах, Разработка робототехники, ряд фурье, метки: матан для пятого класса, Ряд ФурьеНужно ли вам читать этот текст?
Давайте проверим. Прочтите следующее:
Тригонометрическим рядом Фурье функции
 называют функциональный ряд вида
где
Страшно, но всё же хочется понять, что это значит?
Значит, вам под кат. Постараюсь формул не использовать.
Читать полностью »
Как работает метод главных компонент (PCA) на простом примере
2016-06-27 в 13:06, admin, рубрики: data mining, PCA, python, sklearn, Алгоритмы, главные компоненты, математика на пальцах, машинное обучение, эконометрика, метки: pca
В этой статье я бы хотел рассказать о том, как именно работает метод анализа главных компонент (PCA – principal component analysis) с точки зрения интуиции, стоящей за ее математическим аппаратом. Максимально просто, но подробно.
Читать полностью »
Разжёвываем линейно-квадратичный регулятор для управления перевёрнутым маятником
2016-05-20 в 12:59, admin, рубрики: lqr, Алгоритмы, ардуино головного мозга, Занимательные задачки, линейно-квадратичный регулятор, математика, математика на пальцах, наименьшие квадраты, программирование микроконтроллеров, Разработка робототехникиПреамбула
Продолжаю подробное описание использования линейно-квадратичного регулятора на примере управления перевёрнутым маятником. К слову сказать, термин «ЛКР» очень неточно отражает суть происходящего, как мне уже подсказали в комментариях, в русской школе теории управления этот подход называется «аналитическим конструированием регуляторов», что существенно точнее.
Как обычно, я стараюсь разжевать математику по-максимуму, чтобы материал был доступен заинтересованному школьнику. Я глубоко убеждён, что использование математики по-хорошему должно бы быть платным: любая формула должна быть использована только тогда, когда она призвана облегчить понимание, а не для того, чтобы выпендриваться.
Итак, это уже четвёртая статья, для лучшего понимания происходящего неплохо бы прочитать предыдущие три:
- 1. Методы наименьших квадратов
- 2. Линейно-квадратичный регулятор, вводная
- 3. Управление двигателем постоянного тока при помощи линейно-квадратичного регулятора
Вот фотография системы (кликабельно):
Математика на пальцах: ардуино головного мозга или линейно-квадратичный регулятор для управлением электродвигателем
2016-04-02 в 20:40, admin, рубрики: c++, lqr, Алгоритмы, ардуино головного мозга, линейно-квадратичный регулятор, математика, математика на пальцах, метод наименьших квадратов, программирование микроконтроллеров, Разработка робототехникиПостановка задачи: как со школьными знаниями дойти до выводов университетского уровня
Эта статья предполагает, что вы прочли мои статьи (ну или и без того знаете) про методы наименьших квадратов и про линейно-квадратичный регулятор.
Как я уже говорил в предыдущих статьях, мои знакомые студенты хотят построить обратный маятник, но умаялись подбирать коэффициенты ПИД-регулятора, поэтому я неспешно смотрю, что такое линейно-квадратичный регулятор, ну а заодно и вам пересказываю то, что прочитал. Задача для этой статьи — показать, как воплотить в железе одномерный пример из статьи про линейно-квадратичный регулятор. Грубо говоря, я хочу написать написать управление для сервомотора: у меня есть текущее положение оси привода и текущая скорость её вращения, я хочу её остановить в заданном положении. Я попытался было прочитать схожую статью на эту тему, но, признаться, ничего в ней не понял, поэтому сел разбираться самостоятельно, предпочтительно на пальцах и без страшных слов типа дифференциальных уравнений Лагранжа-Эйлера.
Продолжая рабочий эксгибиционизм, знакомлю вас с Bubble Bobble, который живёт у нас с коллегой в кабинете. Он рецензирует статьи для конференции SIGGRAPH.
Математика на пальцах: мендосинский двигатель и теорема Ирншоу
2016-03-26 в 21:04, admin, рубрики: задача дирихле, Занимательные задачки, магнитный подвес, математика, математика на пальцах, теорема ирншоу, уравнение лапласа, уравнения максвеллаПостановка задачи
На днях я увидел на просторах интернета крайне любопытную вещь: мендосинский двигатель. Ротор на подшипниках крайне низкого трения: оригинальный имел стеклянный цилиндр, подвешенный на двух иголках, современные имеют магнитный подвес оси. Двигатель бесколлекторный, на роторе подвешены солнечные батареи, которые выдают напряжение на катушки, намотанные на роторе. Ротор проворачивается в фиксированном магнитном поле статора, солнечная батарея уходит от направленного света, на её место приходит другая. Крайне элегантное решение, которое вполне под силу сделать дома каждому.
Вот на этом видео крайне подробно описан (на русском языке) принцип работы:
Но ещё больше самого двигателя мне показалась любопытной следующая вещь. В описании этого видео Дмитрий Коржевский написал следующую вещь: «Боковую опору заменить магнитом НЕВОЗМОЖНО!!! Не задавайте больше этот вопрос!»
Математика на пальцах: линейно-квадратичный регулятор
2016-02-21 в 15:46, admin, рубрики: c++, Алгоритмы, математика, математика для программистов, математика на пальцах, наименьшие квадраты, Программирование, программирование микроконтроллеровПара часов из жизни математика-программиста или читаем википедию
Для начала в качестве эпиграфа цитирую rocknrollnerd:
— Здравствуйте, меня зовут %username%, и втайне раскрываю суммы из сигма-нотации на листочке, чтобы понять, что там происходит.
— Привет, %username%!
Итак, как я и говорил в своей прошлой статье, у меня есть студенты, которые панически боятся математики, но в качестве хобби ковыряются паяльником и сейчас хотят собрать тележку-сигвей. Собрать-то собрали, а вот держать равновесие она не хочет. Они думали использовать ПИД-регулятор, да вот только не сумели подобрать коэффициенты, чтобы оно хорошо работало. Пришли ко мне за советом. А я ни бум-бум вообще в теории управления, никогда и близко не подходил. Но зато когда-то на хабре я видел статью, которая говорила про то, что линейно-квадратичный регулятор помог автору, а пид не помог.
Если ПИД я ещё себе худо-бедно на пальцах представляю (вот моя статья, которую с какого-то перепугу перенесли на гиктаймс), то про другие способы управления я даже и не слышал толком. Итак, моя задача — это представить себе (и объяснить студентам, а заодно и вам), что такое линейно-квадратичный регулятор. Пока что работы с железом не будет, я просто покажу, как я работаю с литературой, ведь именно это и составляет львиную долю моей работы.
Раз уж пошёл эксгибиционизм про мою работу, то вот вам моё рабочее место (кликабельно):
От действий над матрицами к пониманию их сути…
2016-02-17 в 14:04, admin, рубрики: линейная алгебра, математика, математика на пальцах, матрица, определительОчень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья "Математика на пальцах", и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.
Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше...Читать полностью »
Математика на пальцах: методы наименьших квадратов
2016-02-16 в 13:45, admin, рубрики: c++, Алгоритмы, геометрия для пятого класса, математика, математика для программистов, математика на пальцах, наименьшие квадраты, Программирование, Работа с анимацией и 3D-графикой, уравнение лапласа, уравнение Пуассона, метки: математика на пальцахВведение
Я учёный, математик-программист. Самый большой скачок в своей карьере я совершил, когда научился говорить:«Я ничего не понимаю!» Сейчас мне не стыдно сказать светилу науки, что мне читает лекцию, что я не понимаю, о чём оно, светило, мне говорит. И это очень сложно. Да, признаться в своём неведении сложно и стыдно. Кому понравится признаваться в том, что он не знает азов чего-то-там. В силу своей профессии я должен присутствовать на большом количестве презентаций и лекций, где, признаюсь, в подавляющем большинстве случаев мне хочется спать, потому что я ничего не понимаю. А не понимаю я потому, что огромная проблема текущей ситуации в науке кроется в математике. Она предполагает, что все слушатели знакомы с абсолютно всеми областями математики (что абсурдно). Признаться в том, что вы не знаете, что такое производная (о том, что это — чуть позже) — стыдно.
Но я научился говорить, что я не знаю, что такое умножение. Да, я не знаю, что такое подалгебра над алгеброй Ли. Да, я не знаю, зачем нужны в жизни квадратные уравнения. К слову, если вы уверены, что вы знаете, то нам есть над чем поговорить! Математика — это серия фокусов. Математики стараются запутать и запугать публику; там, где нет замешательства, нет репутации, нет авторитета. Да, это престижно говорить как можно более абстрактным языком, что есть по себе полная чушь.