Доброго всем времени суток, уважаемые посетители сайта Хабрахабр. В данной статье я бы хотел рассказать вам о том, что такое диаграмма Вороного (изображена на картинке ниже), о различных алгоритмах её построения (за 
, 
— пересечение полуплоскостей, 
— алгоритм Форчуна) и некоторых тонкостях реализации (на языке C++).
Также будет рассмотрено много интересных применений диаграммы и несколько любопытных фактов о ней. Будет интересно!
Читать полностью »
Вместо привычного нам цилиндра в этой паровой машине была сфера. Полая сфера, внутри которой все и происходило.
В сфере вращался и колебался диск, на каждой из сторон которого "перекидывались" туда-сюда четвертинки шара. Как видите, на словах это объяснить невозможно, поэтому гифка:
Красные стрелки — подача свежего пара, синие — выпуск отработанного.
Тридцать лет назад математик Уильям Тёрстон [William Thurston] рассказал о своём видении: систематизации всех возможных конечных трёхмерных форм.
Тёрстон, обладатель Филдсовской премии, проведший большую часть карьеры в Принстонском и Корнеллском университетах, имел сверхъестественную способность представлять непредставимое: не только формы, живущие в обычном трёхмерном пространстве, но и гораздо больший зверинец форм, обладающих такими сложными свойствами, что они могут вместиться только в пространство с большим количеством измерений. Там, где другие математики видели зачатки форм, Тёрстон видел структуры: симметрии, поверхности, взаимосвязь между разными фигурами.
Уильям Тёрстон в Беркли в 1991 году.
«У многих людей после многих лет обучения складывается впечатление, что математика – это строгий и формальный предмет, занимающийся сложными и непонятными правилами,- писал он в 2009-м. – Хорошая математика являет собой полную противоположность этому. Математика – это искусство человеческого понимания… Математика поёт, когда мы чувствуем её всем мозгом».
В основании видения Тёрстона находился брачный союз между двумя, на первый взгляд, несопоставимыми подходами к изучению трёхмерных фигур: геометрией, знакомым царством углов, длин, областей и объёмов, и топологией, изучающей свойства формы, не зависящие от точных геометрических измерений – свойства, не меняющиеся, если форму растянуть или перекрутить, как "хэндгам".
Читать полностью »
Специалист по вавилонской культуре Мэтью Оссендрийвер из Берлинского университета имени Гумбольдта, расшифровав давно хранящиеся в Британском музее глиняные таблички, доказал, что вавилонские астрономы использовали в своих расчётах математические методы, ранее считавшиеся прерогативой европейских математиков 14 века.
Пять табличек с клинописью, датируемые 350-50 годами до нашей эры, специалисты до недавнего времени не могли расшифровать. Оссендрийвер, автор нескольких научных работ и книг по вавилонской астрономии, установил, что на табличках описаны геометрические методы движения планеты Юпитер по небосводу, которое отслеживалось астрономами древности.
Большинство астрономов древности составляли таблицы и графики, описывавшие относительное положение небесных тел в зависимости от времён года. Идея описания движения планеты в виде геометрической линии, площадь под графиком которой равняется пройденному небесным телом расстоянию, является поистине инновационной. Ранее считалось, что подобные методы родились у учёных, работавших в европейских университетах в 14-м веке.
Читать полностью »
Математики из Ливерпульского университета в своей новой работе опубликовали несколько неизвестных ранее способов разбиения диска на равные части. Эта работа принадлежит к разделу геометрии, изучающему т.н. паркеты — замощение плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий. На работу учёных вдохновили поиски способов резки пиццы – знакомой большинству из нас процедуры.
При замощении плоскости геометрическими фигурами (плитками) можно ставить и решать разные задачи. Одна из самых интересных задач – использование моноэдрических плиток. В этом случае все плитки имеют одну и ту же форму, или, точнее говоря, конгруэнтны. Это значит, что две любые плитки можно совместить при помощи перемещений, поворотов или зеркального отражения.
Набор форм плиток, используемых для замещения плоскости, называют протоплитками. Интересно, что не существует математического метода, позволяющего заранее сказать, можно ли при помощи заданных протоплиток заместить плоскость. Например, известно, что из следующих 24 гептамондов (фигур, составленных из семи равносторонних треугольников) лишь один непригоден для моноэдрического замощения плоскости. Но какой именно?
Читать полностью »
Группа учёных из Института искусственного интеллекта Пола Аллена и Вашингтонского университета объявила о создании системы искусственного интеллекта под названием GeoS, которая в состоянии сдать американский SAT-тест по геометрии на уровне среднего ученика 11 класса. Причём речь идёт не о том, что задания необходимо каким-то специальным образом подготовить и ввести в компьютер в виде какой-то схемы: GeoS использует компьютерное зрение для анализа чертежей и систему обработки обычного текста для «понимания» сути задачи. Пример того, как ИИ справляется с решением задачи о вписанном в окружность треугольнике (и 4 другие задачи) можно посмотреть здесь.
Читать полностью »
Pathfinder — это визуальный язык для генерации хореографии.
Генеративные решения в области искусств имеют долгую историю. Решения, использующие компьютер, открывают новые перспективы и поднимают новые вопросы в отношении произведения, вовлечённости и экспрессии. В особенности это относится к музыке и изобразительному искусству. Сейчас работа с танцем и прочими движениями пока ещё пребывает в самом начальном состоянии и, как правило, сводится к алгоритмам оцифровки и визуализации движений тел. Такой подход даёт новаторские выступления, предлагая новые способы восприятия танца. Однако, взгляд на алгоритмы лишь как на способ измерения и преобразования не отражает современную роль алгоритмов в художественном исследовании и генеративном дизайне.
Читать полностью »
В мире математики сенсация. Открыт новый вид пятиугольников, которые покрывают плоскость без разрывов и без перекрытий.
Это всего 15-й вид таких пятиугольников и первый, открытый за последние 30 лет.
Читать полностью »
У американского математика Клейтона Шонквилера (Clayton Shonkwiler) есть необычное хобби: он рисует GIF-анимации. Но не простые анимации, а научно выверенные, которые иллюстрируют красоту математики и геометрии. Некоторые из этих концепций можно даже использовать в дизайне.
У него уже накопилась немаленькая подборка.
Читать полностью »
В процессе разработки одного приложения столкнулся с необходимостью рисования эллипсов под произвольным углом в canvas на JavaScript. Пользоваться какими-либо фреймворками в столь простом проекте не хотелось, так что я отправился на поиски статьи-мануала на эту тему. Поиски не увенчались успехом, так что пришлось разбираться с задачей самостоятельно, и я решил поделиться с вами полученным опытом.Формализуем задачу. Нам требуется функция drawEllipse(coords, sizes, vector), где:
