Рубрика «матрицы»

Три физика хотели обсчитать процесс изменения нейтрино. В итоге они обнаружили неожиданное взаимоотношение между одними из самых распространённых объектов математики.

Изучение нейтрино привело к неожиданному открытию в математике - 1

Однажды в августе, утром после завтрака математик Теренс Тао открыл емейл, написанный тремя физиками, с которыми он не был знаком. Троица объяснила ему, что наткнулась на простую формулу, которая в случае, если она окажется верной, опишет неожиданное взаимоотношение между одними из наиболее базовых и важных объектов линейной алгебры.

Формула «выглядела слишком хорошо, чтобы быть правдой», сказал Тао, профессор из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, лауреат Филдсовской премии, один из ведущих математиков мира. «Нечто настолько короткое и простое уже давно должно было оказаться в учебниках, — сказал он. – Поэтому сначала я подумал – нет, этого не может быть».

А потом он подумал ещё немного.
Читать полностью »

Всем привет! Меня зовут Гриша, и я основатель CGDevs. Сегодня хочется продолжить тему математики в геймдеве. В предыдущей статье были показаны базовые примеры использования векторов и интегралов в Unity проектах, а сейчас поговорим о матрицах и аффинных преобразованиях. Если вы хорошо разбираетесь в матричной арифметике; знаете, что такое TRS и как с ним работать; что такое преобразование Хаусхолдера – то вы возможно не найдёте для себя ничего нового. Говорить мы будем в контексте 3D графики. Если же вам интересна эта тема – добро пожаловать под кат.

Математика в Gamedev по-простому. Матрицы и аффинные преобразования - 1
Читать полностью »

Доступно о кватернионах и их преимуществах - 1

От переводчика: ровно 175 лет и 3 дня назад были изобретены кватернионы. В честь этой круглой даты я решил подобрать материал, объясняющий эту концепцию понятным языком.

Концепция кватернионов была придумана ирландским математиком сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном в понедельник 16 октября 1843 года в Дублине, Ирландия. Гамильтон со своей женой шёл в Ирландскую королевскую академию, и переходя через Королевский канал по мосту Брум Бридж, он сделал потрясающее открытие, которое сразу же нацарапал на камне моста.

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

Доступно о кватернионах и их преимуществах - 3

Памятная табличка на мосту Брум Бридж через Королевский канал в честь открытия фундаментальной формулы умножения кватернионов.

В этой статье я постараюсь объяснить концепцию кватернионов простым для понимания образом. Я объясню, как можно визуализировать кватернион, а также расскажу о разных операциях, которые можно выполнять с кватернионами. Кроме того, я сравню использование матриц, углов Эйлера и кватернионов, а затем попытаюсь объяснить, когда стоит использовать кватернионы вместо углов Эйлера или матриц, а когда этого делать не нужно.
Читать полностью »

Введение

Ввиду того, что при решении задач оптимизации, дифференциальных игр, и в 2D и 3D расчётах, а вернее при написании софта, который проводит вычисления для их решения одними из наиболее часто выполняемых операций являются векторно-матричные преобразования типа $aX+bY$, где $a,b$ — скалярные значения, $X, Yin R^n$ — вектора или матрицы размерности $R^{ntimes m}$.
Собственно вот такие:
image
(источник).

Так, чтобы не углубляться в теорию оптимизации за примерами достаточно вспомнить формулу численного интегрирования Рунге-Кутты четвёртого порядка:

$Y_{n+1}=Y_n+frac{h}{6}(k_1 + 2 k_2 + 2 k_3+k_4),$

где $Y_i$ — очередное значение интегрируемой функции $f(t,Y)$ $h$ — шаг метода, а $k_i$, $i=1..4$ — значения интегрируемой функции в некоторых промежуточных точках — в общем случае векторах.

Как можно заметить основную массу математических операций как для векторов, так и для матриц составляют:

  • сложение и вычитание — более быстрые;
  • умножение и деление — более медленные.

О сложности вычислений хорошо написано в соответствующем курсе МФТИ.

Помимо этого, довольно существенные расходы при реализации векторных вычислений приходятся на операции управления памятью — создание и уничтожение массивов представляющих собой матрицы и вектора.

Соответственно есть смысл заняться снижением количества операций привносящих наибольшую сложность — умножения (математика) и операции управления памятью (алгоритмика).

Читать полностью »

В этой статье рассматривается проектирование типов для работы с объектами линейной алгебры: векторами, матрицами, кватернионами. Показано классическое применение механизма перегрузки стандартных операций, использование приёма «Copy On Write» и аннотаций.
Читать полностью »

На Тостере иногда встречаются вопросы о том, как научиться думать как программист. Год назад я ради развлечения решил написать программу которая решает всем хорошо известную задачку — головоломку о волке, козе и капусте. В англоязычных источниках известную как river crossing puzzle.

В этом посте я представлю вам пример мыслительного процесса от задачи к ee алгоритмическому решению.
Читать полностью »

Это заметка о том, что на основании алгоритма генерации спектров (о котором было рассказано в статье «Спектроскоп Салтана...») создан тестовый сервис, обратиться к которому может любой желающий.
Спектроскоп-калейдоскоп - 1
Под катом — инструкция по использованию сервиса и его возможностей.
Читать полностью »

image
В городе Куэрнавака в Мексике «шпионская» сеть повышает эффективность автобусного парка. В результате расписание отбытия автобусов везде соответствует шаблону «универсальности»

В 1999 году, сидя на автобусной остановке в городе Куэрнавака в Мексике, чешский физик Петр Шеба [Petr Šeba] заметил людей, дававших водителю автобуса кусочки бумаги в обмен на деньги. Он обнаружил, что это было не проявление организованной преступности, но другая «теневая» торговля: каждый водитель платил «шпиону», отмечавшему, когда предыдущий автобус отошёл от остановки. Если он отошёл недавно, то водитель этого автобуса замедлялся, чтобы на следующей остановке успели собраться пассажиры. Если тот автобус отошёл уже давно, водитель ускорялся, чтобы его не обогнали другие автобусы. Такая система максимизировала прибыль водителей. Что и дало Шебе идею.

«Мы подумали, что наблюдаем ситуацию, чем-то напоминающую хаотические квантовые системы», пояснил соавтор Шебы, Милан Крбалек [Milan Krbálek].
Читать полностью »

Предыдущая лекция с Data Fest была посвящена алгоритмам, необходимым для построения нового вида поиска. Сегодняшний доклад тоже в некотором смысле про разные алгоритмы, а точнее про математику, лежащую в основе множества из них. О матричных разложениях зрителям рассказал доктор наук и руководитель группы вычислительных методов «Сколтеха» Иван Оселедец.

Под катом — расшифровка и большинство слайдов.

Читать полностью »

В этой статье мне бы хотелось рассказать об одном интересном математическом приеме, который будучи весьма интересным и полезным мало известен широкому кругу людей, занимающихся компьютерной графикой.

Сколько существует разных способов представить обыкновенный поворот в трехмерном пространстве? Большинство людей, когда-либо занимавшихся 3D-графикой или 3D-моделированием, сходу назовут три основных широко распространенных варианта:

  • Матрица поворота 3x3;
  • Задание поворота через углы Эйлера;
  • Кватернионы.

Люди с богатым опытом добавят сюда почему-то не пользующийся популярностью четвертый пункт:

  • Ось поворота и угол.

Мне бы хотелось рассказать о пятом способе представления вращений, который симпатичен тем, что удобен для параметризации, позволяет эффективно строить полиномиальные аппроксимации этих параметризаций, проводить сферическую интерполяцию, и главное, универсален — с минимальными изменениями он работает для любых видов движений. Если вам когда-либо был нужен метод, который позволял бы легко сделать «аналог slerp, но не для чистых вращений, а для произвольных движений, да еще и с масштабированием», то читайте эту статью. Читать полностью »


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js