Сегодня я хочу рассказать об удивительном геометрическом объекте, впервые рассмотренным советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным.
![Оригинал задачи (доступно через WebArchive) - здесь Оригинал задачи (доступно через WebArchive) - здесь](https://www.pvsm.ru/images/2023/09/19/sushestvovanie-treugolnika-sharygina-eto-nastoyashee-matematicheskoe-chudo.png)
Для начала посмотрите на рисунок ниже. Что Вы на нём видите?
Объясняю: слева заштрихован треугольник, вершины которого образованы основаниями медиан (делят сторону пополам), а справа - основаниями высот. Если большие треугольники не являются равнобедренными, то и заштрихованные равнобедренными быть не могут, это доказанный факт.
Но, погодите, есть же еще биссектрисы!
![Существование треугольника Шарыгина — это настоящее математическое чудо - 3 Существование треугольника Шарыгина — это настоящее математическое чудо - 3](https://www.pvsm.ru/images/2023/09/19/sushestvovanie-treugolnika-sharygina-eto-nastoyashee-matematicheskoe-chudo-3.png)
И тут становится интересно! Оказывается, и это показал Игорь Федорович, полученный из биссектрис треугольник может быть равнобедренным! Более того, есть одно очень тонкое условие: угол такого треугольника должен попадать в диапазон от 102,663 до 104,478 градусов!
Откуда такие странные цифры?
Дальнейшие разборки - дело для настоящих ценителей вкуса. Итак, мы предположим, что треугольник, показанный синим цветом на рисунке выше, является равнобедренным. Геометрическая часть доказательства сводится к поиску подобных треугольников и в итоге приводит к следующему выражению:
![Геометрическое решение в силу сложности я опускаю. Очень подробно расписано - здесь Геометрическое решение в силу сложности я опускаю. Очень подробно расписано - здесь](https://www.pvsm.ru/images/2023/09/19/sushestvovanie-treugolnika-sharygina-eto-nastoyashee-matematicheskoe-chudo-4.png)
Затем это выражение раскрывается, а в пару к нему записывается теорема косинусов для большого треугольника:
Начинаем страдать! Нам нужно понять, что за условия накладываются на переменную х. Заметим абсолютную симметричность левой части выражения (9 слагаемых, полученных перемножением друг друга + 1 произведение сторон) и путём подбора получим:
![Последним записано неравенство треугольника Последним записано неравенство треугольника](https://www.pvsm.ru/images/2023/09/19/sushestvovanie-treugolnika-sharygina-eto-nastoyashee-matematicheskoe-chudo-6.png)
Теперь решаем уравнение и неравенство совместно:
![Существование треугольника Шарыгина — это настоящее математическое чудо - 7 Существование треугольника Шарыгина — это настоящее математическое чудо - 7](https://www.pvsm.ru/images/2023/09/19/sushestvovanie-treugolnika-sharygina-eto-nastoyashee-matematicheskoe-chudo-7.png)
Получили первое условие. Не пугайтесь, ведь x - в нашем случае это косинус угла, поэтому всё нормально. Идём дальше. подставляем выражение для стороны a в теорему косинусов:
![Существование треугольника Шарыгина — это настоящее математическое чудо - 8 Существование треугольника Шарыгина — это настоящее математическое чудо - 8](https://www.pvsm.ru/images/2023/09/19/sushestvovanie-treugolnika-sharygina-eto-nastoyashee-matematicheskoe-chudo-8.png)
Получили квадратное уравнение относительно y. Необходимо проверить, когда оно имеет решение, причём положительные (ведь y - это отношение сторон треугольника). Разделим на (4x+1), вычислим дискриминант и получим итоговое выражение для косинуса угла х:
![Здесь нужно подобрать корни кубических уравнений, а потом поделить уголком, чтобы получить неравенство, решаемое школьным методом интервалов Здесь нужно подобрать корни кубических уравнений, а потом поделить уголком, чтобы получить неравенство, решаемое школьным методом интервалов](https://www.pvsm.ru/images/2023/09/19/sushestvovanie-treugolnika-sharygina-eto-nastoyashee-matematicheskoe-chudo-9.png)
Итак, барабанная дробь! Мы получили, что косинус одного из углов треугольника Шарыгина должен быть больше минус 1/4 и меньше вот этого вот всего с радикалом. Вычисляем на калькуляторе:
![Существование треугольника Шарыгина — это настоящее математическое чудо - 10 Существование треугольника Шарыгина — это настоящее математическое чудо - 10](https://www.pvsm.ru/images/2023/09/19/sushestvovanie-treugolnika-sharygina-eto-nastoyashee-matematicheskoe-chudo-10.png)
А вот и реальные углы! Оцените полученный диапазон! Не знаю как Вы, но я испытал истинное наслаждение.
![Уравнение можно решить как квадратное относительно y, а затем перебором найти целочисленные решения. Получено оно из предположения, что z=1 (следует из свойств симметрии решений). Уравнение можно решить как квадратное относительно y, а затем перебором найти целочисленные решения. Получено оно из предположения, что z=1 (следует из свойств симметрии решений).](https://www.pvsm.ru/images/2023/09/19/sushestvovanie-treugolnika-sharygina-eto-nastoyashee-matematicheskoe-chudo-11.png)
И еще один факт. Выше показан треугольник Шарыгина с наименьшими целочисленными сторонами. Красивый конец, неправда ли ?
-
Больше математики в Telegram - "Математика не для всех".
Эта статья поддерживается командой ITGLOBAL.COM
Мы — первый облачный провайдер в России, а также интегратор, поставщик ИТ-услуг, продуктов, сервисов и разработчик собственного ПО.
• Наш сайт
• Наш блог про Enterprise IT во всех его проявлениях
• Истории успеха наших клиентов
Автор:
andreybrylb