Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье

в 6:48, , рубрики: canvas, html, javascript, Алгоритмы, безье, графики, интерполяция, Программирование

Доброго времени суток, харбачитатель.

В этой статье мне хотелось бы рассказать об одном придуманном когда-то алгоритме (или скорее всего — переизобретённом велосипеде) построенного плавного графика по заданным точкам, используя кривые Безье. Статья была написана под влиянием вот этой статьи и очень полезного комментария товарища lany, за что им отдельное спасибо.

Постановка задачи
Есть массив Y-ков точек, расположенных равномерно по оси X. Нужно получить плавный график, который проходит через все заданные точки. Пример на рисунке ниже:

Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье - 1

Всех, кому интересно, прошу под кат.

Существует ряд стандартных решений для проведения плавной кривой через точки (по этому поводу много интересного написано в уже упомянутой статье) таких, как например, интерполяции сплайнами. Когда на третьем курсе был придуман этот алгоритм, слово «интерполяция» вселяло в меня ужас, а гугление по запросу «сглаживание графиков» не давало посильных пониманию результатов. Но как-то я дошел до кривых Безье и уж очень они мне понравились. Рисует быстро, алгоритм интуитивно понятный… Что еще надо для счастья. Ну и как-то понеслось.

Основная идея

Разобью идею на три подпункта, чтобы было понятней и читабельней.

  1. О кривых Безье хорошо написано на вики и на javascript.ru. Если внимательно читать, то можно обратить внимание, что кривая Безье выходит из первой точки касательно к прямой начальная_точка-первая_опорная_точка. Аналогично и в конце — кривая заходит касательно прямой последняя_опорная_точка-конечная_точка. Таким образом получается, что если у нас одна кривая заканчивается в точке А и зашла касательно к прямой а, а другая кривая выходит из этой точки А касательно к той-же прямой а, то этот переход между двумя кривыми Безье у нас получится плавным.
  2. Исходя из первого пункта получается, что у нас опорные точки слева и справа относительно точки А должны лежать на одной прямой. Поразмыслив немного, было решено, что эта прямая должна быть такой, чтобы ∠BAB1=∠CAC1 (рисунок ниже), где точки B1 и C1 — опорные.
    Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье - 2

  3. Расстояние от точки А до точек B1 и C1 было решено взять равным половине шага по X между точками B и A, A и C, и т.д. Мне сложно как-то обосновать такой выбор, но важно, чтобы это расстояние было меньше, чем шаг по X между точками А и B, иначе может получится что-то такое, как на рисунке ниже. Важно понимать, что чем больше будет это расстояние, тем более извилистой будет кривая и наоборот. Расстояние в половину шага по X мне кажется оптимальным, но тут уже возможны варианты.
    Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье - 3

Таким образом получается, что задача сводится к поиску прямой (B1C1) и, собственно, опорных точек B1 и C1, по которым мы потом будем строить кривые Безье.

Поиск прямой

Как известно, прямая на плоскости выражается формулой y=kx+b, где k — тангенс угла наклона прямой к оси Х. Когда мы найдем k, то зная, что прямая проходит через точку А, и зная ее координаты, мы легко можем найти b: b=YA-kXA. Таким образом все сводится к поиску коэффициента k.

Поиск коэффициента k

Скажу наперед, что k = tg(φ) = tg((α-β)/2) = (Sqrt((ΔX2+(YA-YB)2)*(ΔX2+(YA-YC)2))-ΔX2-(YA-YB)*(YA-YC)) / (ΔX*((YA-YB)-(YA-YC))), где ΔX — расстояние по Х между точками (напомню, что у нас точки расположены равномерно по Х). Ниже представлено математическое доказательство правильности формулы, но если вы не в настроении, то можете его просто пропустить.

Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье - 4

Математическое выведение коэффициента k
  1. Пускай угол ∠O1BA=α, а угол ∠O2СA=β.
    Тогда ∠BAO1=90o; ∠CAO2=90o, так как △ABO1 и △ACO2 — прямоугольные.

  2. (1) ∠B11=∠B1AB+∠BAO1+∠O1AС+∠CAС1=180o
    (2) ∠B1AB=∠C1 — по условию
    (3) ∠BAO1=90o
    (4) ∠O1AС=∠CAO2=90o

    Из (1), (2), (3) и (4) получается, что:
    2*∠C1AС+(90o-α)+(90o-β)=180o
    2*∠C1AС+180o-α-β=180o
    (5) ∠C1AС=(α+β)/2

  3. (6) ∠C1AС=∠C1AD+∠DAC=φ+∠DAC
    (7) ∠DAC=∠O2CA=β — как внутренние разносторонние углы образованные двумя параллельными прямыми (AD) и (O2C) и секущей (AC)

    Из (5), (6) и (7) получается, что:
    ∠C1AС=φ+∠DAC
    (α+β)/2=φ+β
    φ+β=(α+β)/2
    (8) φ=(α-β)/2

  4. k=tg(φ)=tg((α-β)/2)

    Из △ABO1:
    sin(α)=[AO1]/[AB]
    cos(α)=[BO1]/[AB]

    Из △ACO2:
    sin(β)=[AO2]/[AC]
    cos(β)=[CO2]/[AC]

    Под квадратными скобками подразумевается длинна отрезка (не хотел использовать вертикальные прямые — надеюсь, что читатель меня простит)

  5. Из предыдущего подпункта следует:
    Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье - 5

  6. Зная, что:
    [BO1]=[CO2]=ΔX
    [AO1]=YA-YB
    [AO2]=YA-YC
    [AB]=Sqrt([AO1]2+[BO1]2)=Sqrt((YA-YB)2+ΔX2)
    [AC]=Sqrt([AO2]2+[CO2]2)=Sqrt((YA-YC)2+ΔX2)

    Получаем, что:
    Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье - 6

И так, k мы нашли; b мы тоже знаем (смотри выше), а значит прямая, на которой лежат опорные точки, нам известна.

Ищем опорные точки

Сразу скажу, что: ΔX'=Sqrt(ΔX2/(4+4*k)), координаты опорной точки справа: XC1=XA+ΔX'; YC1=k*XC1+b, и слева:XB1=XA-ΔX'; YB1=k*XB1+b.

Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье - 7
Немного математики, которая это доказывает
Из тригонометрии мы помним, что:
Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье - 8

Из △AC1O:
ΔX'=[AC1]*cos(φ).

Если мы принимаем [AC1] равным половине шага по X между основным точками графика (точками B и A, A и C, т.д.), то:
Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье - 9

И вот, собственно:
XC1=XA+ΔX'
XB1=XA-ΔX'
YC1=k*XC1+b
YB1=k*XB1+b

К приятному!

  1. От товарища lany (огромное ему за это спасибо и плюс ему к карме) я узнал, что html5 с помощью функций quadraticCurveTo() и bezierCurveTo() умеет рисовать по canvas-у кривые Безье сам. Соответственно, алгоритм можна применить с JavaScript-ом.
  2. Приятной особенностью алгоритма есть то, что график предсказуемо «выпирает» за границы пространства точек, через которые мы собственно проводим график. Если брать расстояние до опорных точек равными половине шага по X (отрезок [AC1] на последнем рисунке), то зазора в четверть шага по X сверху и снизу от границ canvas-а будет достаточно.

Пример реализации на JSFiddle

Автор: Nabytovych

Источник

Поделиться новостью

* - обязательные к заполнению поля