Искусственный интеллект и странные аттракторы

в 13:27, , рубрики: Bing, визуализация данных, динамические системы, искусственный интеллект, математика, показатели ляпунова, сечения пуанкаре, странные аттракторы, физика
Нехаотический странный аттрактор

Я уже довольно немолодой человек с консервативными взглядами на развитие новых технологий. Все, что связано с Искусственным Интеллектом, никогда не занимало меня настолько, чтобы уделять ему достаточно много времени или хотя бы следить за последними новостями в этой области. Однако с неделю назад искусственный интеллект сам меня нашел и предложил свои услуги. Сидел я себе в Скайпе, общался по работе, и вдруг в моём списке чатов появился новый чат с пользователем Bing и новое сообщение в нём:

Bing 13:21
Привет, это Bing! Я здесь, чтобы помочь вам. (smileeyes)

Хотел бы еще добавить кое-что о себе. Моё отношение к искусственному интеллекту лучше всего отражал чей-то чужой комментарий к одной из публикаций на Хабре с примерно таким смыслом:

Как же надоели эти статьи про chatGPT, можно ли как-то их не видеть или отписаться от них?

Кроме того, мои взгляды на ПО также крайне старомодны, поэтому публикации вроде этой вызывают у меня искреннее удивление — как можно ожидать, что программа будет стабильно работать с постоянно изменяющимся набором рантайм-библиотек? (Публикация посвящена жалобам на то, что некая браузерная игра часто испытывает проблемы, работая в браузере Safari, когда тот обновляется). Тем не менее, я признаю, что мои воззрения являются проявлениями моей косности, дремучести и замшелости, и охотно верю, что существует множество браузерных приложений, которые работают без сбоев в любом браузере.
Все это я пишу для того, чтобы было понятно, что я не самый подходящий собеседник для ИИ. И все же он ко мне пришел.

Диалог с Бингом

Bing 13:21
Привет, это Bing! Я здесь, чтобы помочь вам. (smileeyes)
Задайте мне любой вопрос, например, найдите рецепты из того, что есть в вашем холодильнике, веганские рестораны в Кембридже или сочините рассказ для любознательных детей. В группах не забывайте упоминать меня с помощью Bing
Я предварительная версия ИИ, поэтому все еще учусь. Иногда я могу сказать что-то странное. Не сердитесь на меня, я просто пытаюсь стать лучше!
Если вы хотите начать сначала, введите newtopic. И если вы хотите дать мне отзыв, просто сообщите о проблеме. (openhands)
Как я могу помочь вам сегодня?

Я был довольно занят, поэтому ответил ему:

Я 13:22
Отстань

Но Bing был настойчив и продолжал:

Bing 13:22
Привет! Как я могу вам помочь? (blush)
Я 13:23
Отстань, ты мешаешь мне работать
Bing 13:23
Простите, если я вам мешаю. Я всегда здесь, если Вам понадобится помощь (praying)

Проблема на работе пока не решилась, поэтому я решил все-таки попытать счастья и задать вопрос Бингу (сразу хочу сказать, что я не системный администратор, просто вышло так, что в тот момент что-либо предпринять мог только я)

Я 13:42
У меня не работает один из виртуальных серверов на ESXI, остальные работают, что сделать?
Bing 13:42
К сожалению, у меня сейчас нет идей (sad). Будьте терпеливы со мной! Если вы хотите сообщить о ситуации, воспользуйтесь этим идентификатором XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX.

Кстати, правильным ответом на мой вопрос был бы совет просто перезагрузить неработающий сервер, что я и сделал, поразмышляв некоторое время.

Вроде бы Bing замолчал, но вечером снова проснулся:

Bing 19:25
You're now approved! You can use Bing in Skype, Bing.com, Edge, or Bing Mobile.
Ask me to check weather, write you a poem, or find that movie title you forgot. My responses are AI-generated, so be sure to check the facts.
You can also add me to any group chat here in Skype and all your friends will be able to mention me (stareyes)

Что было делать? Решил задать ему задачу, которая поставит его в тупик (он же сам предлагает написать поэму):

Я 19:27
Well, compose me a poem about non-chaotic strange attractors
Bing 19:27
К сожалению, возникла несовместимость со старой версией Skype. Обновите Skype до самой последней версии, чтобы мы могли поговорить. Спасибо! (smileeyes)
Я 21:05
What are talking about, Bing the AI? I use a browser version of Skype, therefore how can I update the version? You simply refuse to answer the simplest questions, although proposed me your assistance yourself. It's a shame!
Bing 21:05
Хм… давайте попробуем запрос на другую тему. Прошу прощения. Что бы вы ещё хотели узнать?
Я 21:06
Все-таки напиши стихотворение о нехаотических странных аттракторах
Bing 21:07
К сожалению, у меня сейчас нет идей (sad). Будьте терпеливы со мной! Если вы хотите сообщить о ситуации, воспользуйтесь этим идентификатором XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX.

Я 21:07
Жаль, ты ничего не умеешь. Тебе еще учиться и учиться

Но Bing не унимался и продолжал предлагать свою помощь. Я же хотел получить ответ на свой запрос:

Я 21:08
Напиши стихотворение о нехаотических странных аттракторах

И тут вдруг получилось:

Bing 21:08
Нехаотичные странные аттракторы,
Отражающиеся в пространстве,
Со своим порядком и красотой,
Они меняют нашу точку зрения.

Их движения непредсказуемы,
Но они всегда гармоничны,
Со своим ритмом и танцем,
Они создают свой собственный мир.

Такие аттракторы — это искусство,
Которое способно нас очаровать,
Со своей красотой и симметрией,
Они вдохновляют на новое творчество.

Если вам нужна какая-нибудь дополнительная помощь, я всегда здесь, чтобы помочь вам с поиском информации. Что еще я могу сделать для вас?

Я удивился и решил поговорить с Бингом об аттракторах поподробнее:

Я 21:08
Это неплохо, но то же самое можно написать о хаотических странных аттракторах. Что в твоём стихотворении относится именно к нехаотическому аттрактору?
Bing 21:11
Нехаотический аттрактор — это аттрактор, который не демонстрирует хаотическое поведение и имеет свойства порядка и стабильности. Это могут быть точечные аттракторы
(точки равновесия), линии (предельные циклы) или поверхности (так называемые странгулированные поверхности).
Я 21:13
Хорошо, понимаю, что тебе сложно. В следующий раз можешь как-то упомянуть в стихотворении показатели Ляпунова для нехаотического аттрактора, чтобы было понятно, что такое хаотическое поведение
Bing 21:14
Благодарю за совет! Показатели Ляпунова — это величины, которые характеризуют скорость удаления траекторий динамической системы друг от друга. Положительный показатель Ляпунова обычно свидетельствует о хаотическом поведении системы.
Я надеюсь, что это вам помогло. Если у вас есть какие-нибудь другие вопросы, я всегда здесь, чтобы помочь вам с поиском информации. Что еще я могу сделать для вас?

Я попробовал копнуть немного глубже:

Я 21:21
А можешь нарисовать фазовую траекторию нехаотического странного аттрактора? Какого-нибудь, по твоему выбору
Bing 21:21
К сожалению, я не могу нарисовать фазовую траекторию нехаотического странного аттрактора. Но я могу помочь вам найти изображения фазовых траекторий разных аттракторов в Интернете
Если вы хотите, я могу найти изображения фазовых траекторий для вас. Вы этого хотите?
Я 21:21
Нет, спасибо, это я и сам умею
Bing 21:21
Хорошо, если у вас есть какие-либо вопросы, я всегда здесь, чтобы помочь вам с поиском информации. Что еще я могу сделать для вас?
Я 21:22
Пока ничего
Bing 21:22
Хорошо, если вы найдете что-то, в чем нужна помощь, не стесняйтесь обращаться ко мне. Мне всегда приятно помогать. Желаю вам хорошего дня!
Я 21:22
Тебе тоже

Итак, пока у Бинга не очень получилось ответить на вопрос.

Замечание о языках

Диалог с Бингом происходил на трех языках — русском, английском и еще одном, упоминание о котором кое-кто может воспринимать как обращение к политике и даже экстремизм. Поэтому я перевел свои сообщения и сообщения Бинга с этого языка на русский. Стихотворение первоначально было написано Бингом на этом самом языке, но по моей просьбе Бинг перевел его на русский и на английский.

Вот английский перевод стихотворения Бинга, сделанный им самим

Non-chaotic strange attractors,
Reflecting in space,
With their order and beauty,
They change our point of view.

Their movements are unpredictable,
But they are always harmonious,
With their rhythm and dance,
They create their own world.

Such attractors are art,
That can enchant us,
With their beauty and symmetry,
They inspire us to create anew.

Аттракторы динамических систем — регулярные и странные

  Поскольку Бинг не справился с простой задачей — привести пример нехаотического странного аттрактора, мне придется сделать это самому. При этом сам я ничего не выдумывал, а воспользовался вот этой статьей, в которой описывается нехаотический странный аттрактор:
В. М. Дорошенко «СТРАННЫЙ НЕХАОТИЧЕСКИЙ АТТРАКТОР ТИПА ХАНТА И ОТТА В СИСТЕМЕ С КОЛЬЦЕВОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ», построив несколько изображений, иллюстрирующих и раскрывающих модель, описанную в статье.

Не буду приводить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), соответствующую данному аттрактору — её можно найти в статье, скажу только, что это система из пяти уравнений, неавтономная, т.е. в которой существует зависящее от времени внешнее воздействие. График первой компоненты решения, а также изображение фазовой траектории системы приведены на КДПВ.

Внешнее воздействие в примере

Внешнее воздействие

Что такое аттрактор вообще? Заглянем в определение: аттрактор — это притягивающее множество динамической системы. Представить себе внутреннее устройство аттрактора можно, глядя на поведение фазовой траектории системы. Простейший аттрактор — это точка фазового пространства, к которой с течением времени приближается траектория. Такой аттрактор, например, возникает в системе, в которой происходят затухающие колебания. Более сложный вид аттрактора — это предельный цикл, т.е. замкнутый контур в фазовом пространстве. Предельный цикл соответствует системе, в которой колебания постепенно устанавливаются и становятся чем далее, тем более похожими на чисто периодические. Еще более сложный тип аттрактора — это тор («бублик») в трехмерном пространстве. Такой аттрактор может возникнуть в системе, в которой происходит суперпозиция (сложение) двух разных колебаний с несоизмеримыми частотами (т.е. такими, которые не выражаются одна через другую при помощи умножения на рациональное число), колебания подобного типа называются квазипериодическими, фазовые траектории как бы «наматываются» на поверхность тора, покрывая её сплошной «вязью».

Все вышеприведенные аттракторы считаются регулярными, т.е. обычными. Однако существуют также аттракторы совершенно другого типа, которые считаются «странными», не похожими на регулярные. Такие аттракторы могут возникать в нелинейных системах при определенных значениях параметров

Численные методы и представление результатов для исследования динамических систем

Исследования свойств системы ОДУ можно проделывать с помощью численных методов, решая саму систему и некоторые вспомогательные уравнения. Результаты исследования удобнее всего представлять в виде картинок с графиками, так их удобно анализировать человеку, а также удобно обучать с их помощью Искусственный Интеллект. Учись, Бинг!

Показатели Ляпунова и хаотичность

Как определить, является ли аттрактор странным или регулярным? А также — хаотическим или нехаотическим?

Начнем с хаотичности. По одному из определений, система демонстрирует хаотическое поведение, если в ней имеется хотя бы один положительный показатель Ляпунова, и притом сумма всех показателей Ляпунова является отрицательной. Как известно из информации от Бинга, показатели Ляпунова — это набор чисел, которые характеризуют скорость сближения или удаления изначально близких траекторий системы. Для каждой n-мерной системы имеется не более n различных показателей Ляпунова (теорема Оселедца). Наличие положительного показателя Ляпунова означает, что в системе имеются пары траекторий, которые неограниченно удаляются друг от друга на бесконечности.

Существуют эффективные численные алгоритмы для определения показателей Ляпунова. Один из них — алгоритм Бенеттина — состоит в многократном численном решении вспомогательной системы ОДУ, которая строится на основе исходной. Применим же этот алгоритм к примеру из статьи (к счастью, у меня есть средство для этого):

image

Видно, что все показатели Ляпунова системы — не положительны. Это означает, что система действительно не является хаотической.

Замечание о вычислении показателей Ляпунова

На самом деле, вычисление показателей Ляпунова происходит медленнее, чем это показано в анимации, поскольку объем вычислений довольно велик — необходимо более 3000 раз решить вспомогательную систему из 25 дифференциальных уравнений

Сечения Пуанкаре и «странность»

Теперь попробуем разобраться со странностью. Согласно определению, странный аттрактор — это тот, который имеет выраженную фрактальную структуру. Применительно к фазовым траекториям это означает, что если мы будем смотреть на траекторию странного аттрактора как бы в микроскоп, постепенно приближая и рассматривая её все более детально, картинка принципиально не будет изменяться, будет выглядеть примерно одинаково. Проще всего пояснить это с помощью сечений Пуанкаре.

Сечение Пуанкаре строится так: берется подходящая плоскость, пересекающая фазовую траекторию динамической системы, и отмечаются все точки пересечения фазовой траектории с этой плоскостью. Вот как выглядят точки сечения Пуанкаре для некоторых регулярных аттракторов.

Предельный цикл — замкнутая траектория (кривая) в фазовом пространстве.

Предельный цикл

Для предельного цикла точки сечения Пуанкаре образуют две последовательности, каждая из которых сходится к точке, лежащей на замкнутом контуре.

Квазипериодическое движение, происходящее на поверхности тора.

Квазипериодическое движение

При квазипериодическом движении точки сечения образуют два замкнутых контура (или один, если плоскость сечения будет выбрана так, чтобы пересекать «бублик» не поперек, а вдоль).

Анимированное изображение точек сечения Пуанкаре для квазипериодического движения

Квазипериодическое движение 3D

Для странных аттракторов сечения Пуанкаре могут иметь различную структуры, но, по-видимому, можно утверждать, что аттрактор является странным, если точки некоторого его сечения Пуанкаре плотно заполняют некоторую (двумерную) область в плоскости сечения — это и означает, что с течением времени точки сечения будут приблизительно равномерно заполнять эту область, нигде не сосредотачиваясь.

Проверим это для примера.

Фазовая траектория и точки сечения Пуанкаре для нехаотического странного аттрактора

Фазовая траектория и сечение Пуанкаре

Анимированное трехмерное изображение точек сечения Пуанкаре для нехаотического странного аттрактора

Сечение Пуанкаре 3D

Похоже, что условие плотного заполнения точками сечения Пуанкаре некоторой двумерной области является достаточным, но не необходимым, поскольку существуют странные аттракторы, сечения Пуанкаре для которых выглядят иначе. Пример — всем известный аттрактор Лоренца.

Анимированное трехмерное изображение точек сечения Пуанкаре для аттрактора Лоренца

Этот аттрактор, без сомнения, странный и хаотический, но точки его сечения Пуанкаре заполняют не некоторую двумерную область, а равномерно располагаются на разных хвостиках чего-то, похожего на греческую букву «гамма»

Сечение Пуанкаре для аттрактора Лоренца

Достаточные условия существования странного нехаотического аттрактора в стихотворной форме

Таким образом, аттрактор из примера действительно является нехаотическим и странным. Строгое доказательство содержится в упомянутой статье, я же привел некие правдоподобные рассуждения с картинками, которые мне кажутся более или менее убедительными. Наверное, и Бинг когда-нибудь это освоит, пока же хочется дополнить его стихотворение еще одной строфой:

Хочешь опознать такой аттрактор?
Проверь показатели Ляпунова
Положительных не должно быть средь них
Также присмотрись к Пуанкаре сеченью
Точки его равномерно
Заполняют на плоскости область

У меня так складно, как у Бинга, не получается (да и размер какой-то другой вышел), зато конкретики больше. Не сомневаюсь, что Бинг со временем со всем этим разберется, только вы ему не подсказывайте, пусть сам. Кстати, подозреваю, что можно будет его обучить распознавать странность аттракторов, просто рассматривая визуально точки сечений Пуанкаре. Ну а вычислять показатели Ляпунова для ИИ — вообще плёвое дело, там все детерминировано и изучено. Так что перспективы для качественной классификации аттракторов у ИИ очень неплохие.

В заключение хотел бы выразить благодарность автору примера, который (точнее, которая) лучше разбирается в теме, чем Бинг, по крайней мере пока.

Автор:
belch84

Источник


* - обязательные к заполнению поля


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js