Математическая продлёнка. Математика кривого пропеллера

в 9:21, , рубрики: динамические системы, дифференциальные уравнения, Занимательные задачки, математика, седло

Отчего "гнётся и рвётся" пропеллер на фото и видео вы, наверняка, знаете. А какую именно форму принимают лопасти винта? Как зависит их видимая форма от скорости вращения? И причём здесь гиперболы?

Мой сын очень уважает самолёты. Особенно, турбовинтовые: здорово же, когда видно как работает двигатель и как вертится пропеллер! А какую интересную форму принимают винты при съёмке на телефон или цифровую камеру! Класс!

Математическая продлёнка. Математика кривого пропеллера - 1
Математическая продлёнка. Математика кривого пропеллера - 2
Математическая продлёнка. Математика кривого пропеллера - 3

Красота!!

Я полностью разделяю энтузиазм сына, И сегодня хочу подробнее рассмотреть математическую составляющую причудливого поведения пропеллеров, которое можно наблюдать на фото и видео.

Уверен, что для большинства читателей, в принципе, ничего особенно сложного в объяснении этого визуального эффекта нет. Развёртка светочувствительной матрицы цифровой камеры работает подобно щелевому затвору и круговое движение винтов "рисуется" на матрице с постоянным дрейфом, как показано на анимациях. По мере увеличения скорости вращения винта, видимое искривление увеличивается, появляются разрывы и дополнительные линии.

Математическая продлёнка. Математика кривого пропеллера - 4
Математическая продлёнка. Математика кривого пропеллера - 5
Математическая продлёнка. Математика кривого пропеллера - 6

Об этом эффекте есть и многочисленные заметки в сети и ролики в Youtube, в общем, на качественном уровне всё понятно. Меня же заинтересовало не то, что лопасти "изгибаются" и даже "рвутся", а то, что в искривлённых формах легко угадываются кое-какие образы, хорошо знакомые тем, кто занимался дифференциальными уравнениями и теорией динамических систем. Приглашаю заглянуть в эту задачу поглубже.

Для начала, выведем уравнение для видимых точек двухлопастного пропеллера, математической моделью которого может быть вращающаяся прямая, описываемая параметрическим уравнением:

begin{align}&x=ucos(omega t),\&y=u sin(omega t).end{align}

Роль щелевого затвора может играть вертикальная прямая, двигающаяся горизонтально со скоростью v и представляемая уравнением x=vt. Точки пересечения этих двух прямых образуют кривую, с параметрическим уравнением:

begin{align}&x=vt,\&y=vt , mathrm{tg}(omega t).end{align}

На этом этапе пора навести в уравнениях порядок. Введём масштаб времени 1/omega и длины v/omega и приведём уравнения к безразмерному виду:

begin{align}&x=tau,\&y=tau , mathrm{tg}(tau).end{align}

Перейдя от параметрического представления кривой к явному виду, получим чрезвычайно простое уравнение для кривой, в которую превращаются лопасти на фотографиях:

y=x, mathrm{tg}(x).

Вот она форма лопасти!
Вот она форма лопасти!

Если лопастей N штук, то кривые для них будут отличаться фазой под тангенсом:

y=x, mathrm{tg}left(x-frac{2pi}{N}nright).

Вот, например, как будет выглядеть пропеллер с пятью лопастями и переменной фазой (это чтобы "лопасти" закрутились):

Математическая продлёнка. Математика кривого пропеллера - 18

Здорово! Работает! Но это ещё не всё. Обратите внимание, при обезразмеривании задачи исчезли оба параметра: частота вращения ω и скорость затвора v. Это говорит о том, что решение задачи автомодельно, то есть, изменению любой из этих скоростей соответствует изменение масштаба длины, но форма кривых останется точно такой же.

При увеличении скорости вращения винта, уменьшается отношение , что соответствует уменьшению масштаба нашего автомодельного решения. Оно, как бы, сжимается, оставаясь в пределах диска, заметаемого пропеллером.

При увеличении скорости вращения винта, уменьшается отношение v/omega, что соответствует уменьшению масштаба нашего автомодельного решения. Оно, как бы, сжимается, оставаясь в пределах диска, заметаемого пропеллером.

Глядя на то, как меняется видимая форма лопастей можно обратить внимание на то, что кроме неподвижной точки в центре пропеллера, есть ещё одна особая точка с координатами (0,-1). Присмотритесь, проходя через неё, кривые терпят разрыв и становятся похожими на гиперболы. Человек, искушённый в дифференциальных уравнениях, узнает в ней  гиперболическую особую точку или седло. Откуда она тут и о чём говорит её существование?

Давайте перейдём от кривых, в которые превращаются лопасти, к полю скоростей, по которому двигаются траектории точек лопасти. Для этого продифференцируем параметрические уравнения траектории:

begin{align}&dot{x}=1,\&dot{y}=mathrm{tg}(tau) + frac{tau}{cos^2(tau)}=mathrm{tg}(tau) + tau+tau,mathrm{tg}^2(tau).end{align}

А теперь выразим tau и mathrm{tg}(tau)через x и y: tau=x, mathrm{tg}(tau)=y/x, и подставим в систему дифференциальных уравнений, превратив её в автономную систему (не зависящую от времени явно):

begin{align}&dot{x}=1,\&dot{y}=frac{1}{x}(y+x^2+y^2).end{align}

Наконец, можно привести её к более удобному для анализа, виду, праада, изменив динамику, то есть, скорости точек вдоль траекторий, но оставив без изменений сами траектории:

begin{align}&dot{x}=x,\&dot{y}=y+x^2+y^2.end{align}

Стандартный анализ особых точек этой системы, в которых обе производные обращаются в ноль, даёт нам два стационарных решения: вырожденный отталкивающий узел (звезду) (0,0), и гиперболическую (седловую) точку (0,-1).

Вот как выглядит поле направления скоростей для этой системы со стационарными точками:

Узел показан зелёным цветом, а седло -- красным.

Узел показан зелёным цветом, а седло — красным.
А вот её фазовый портрет, отражающий типичные траектории системы (синие линии) и её инвариантные многообразия (чёрные линии).

А вот её фазовый портрет, отражающий типичные траектории системы (синие линии) и её инвариантные многообразия (чёрные линии).

Из-за того, что система имеет седловую стационарную точку, и появляются гиперболические формы и характерные разрывы у "кривых" лопастей на снимках! Поглядите сами на то, как видимые точки пропеллера следуют полю скоростей. В тот момент, когда пропеллер проходит через седловую точку, линия и винта совпадают, и единственная точка пересечения превращается в полный отрезок прямой. В этом случае мы получим снимок всей лопасти пропеллера без искажений.

Математическая продлёнка. Математика кривого пропеллера - 34

Сын-восьмиклассник, конечно, не всё понял из того, что я ему рассказал, но картинки ему понравились, и в Desmos он смог построить кривые y=x,mathrm{tg}(x-a)и анимировав параметр a, сам увидел во что превращаются лопасти. А осознав существование седловой точки, развидеть он её уже не может и отыскивает на фотографиях и видео.

Автор: Сергей Самойленко

Источник


* - обязательные к заполнению поля


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js