Задача про четыре стакана

в 6:22, , рубрики: математика и реальная жизнь, математика и физика, математическое моделирование, Научно-популярное, физика, метки:

В комментариях к моему посту, одним из пользователей был задан интересный вопрос. Суть его такова: Имеем 4 стакана, с одинаковым объемом воды. 2 из них с горячей, 2 — с холодной. Смешиваем стаканы с горячей и холодной водой. Ждем 10 мин и смешиваем оставшиеся. Вопрос: в какой смеси вода будет горячее?

Задача про четыре стакана - 1

Нагрев и остывание

Нагрев и остывание подчиняются закону Нютона-Рихмана, решение уравнений которого имеет вид:

Задача про четыре стакана - 2

Задача про четыре стакана - 3 — температура окружающей среды;
Задача про четыре стакана - 4 — начальная температура;
Задача про четыре стакана - 5 — время;
Задача про четыре стакана - 6 — коэффициент, описанный ниже;

Давайте детально исследуем эту формулу:

  • в момент времени Задача про четыре стакана - 7, температура равна начальной Задача про четыре стакана - 8.
    Подробнее

    Задача про четыре стакана - 9
  • с течением времени, она стремится к окружающей (в не зависимости, была начальная выше или ниже неё) по экспоненциальному закону, со скоростью, пропорциональной коэффициенту Задача про четыре стакана - 10.
    Побробнее

    Так как Задача про четыре стакана - 11, то Задача про четыре стакана - 12

Теперь несколько слов о коэффициенте Задача про четыре стакана - 13:

Задача про четыре стакана - 14

Задача про четыре стакана - 15 — коэффициент теплоотдачи, зависящий от многих факторов, получаемый экспериментально.
Задача про четыре стакана - 16 — площадь границы раздела;
Задача про четыре стакана - 17 — масса;
Задача про четыре стакана - 18 — удельная теплоемкость тела;

Если с Задача про четыре стакана - 19 (площадь соприкосновения воды и стенок сосуда), удельной теплоемкостью Задача про четыре стакана - 20 и массой Задача про четыре стакана - 21 все понятно, то с коэффициентом теплоотдачи Задача про четыре стакана - 22 все не так очевидно. Он показывает, сколько джоулей за секунду уйдет через метр квадратный границы раздела, при разности температур в 1 Кельвин. К счастью, в нашем случае, не важно знание абсолютного значения этого коэффициента.

Смешивание

Какой станет итоговая температура воды после смешивания? Как бы банально это не звучало, но для нашего случая (смешиваем равное количество воды):

Задача про четыре стакана - 23

Задача про четыре стакана - 24 — температура горячей (Hot) воды;
Задача про четыре стакана - 25 — температура холодной (Cold) воды;
Задача про четыре стакана - 26 — температура смеси;

Доказательство

Количество выделенной или поглощенной энергии системы, c изменением ее температуры, связаны простым отношением:

Задача про четыре стакана - 27

Горячая вода, охлаждаясь до Задача про четыре стакана - 28 отдаст такое же количество энергии, сколько заберет холодная, нагреваясь до той же температуры. Поэтому можем записать:

Задача про четыре стакана - 29

Задача про четыре стакана - 30

Задача про четыре стакана - 31

Стаканы 2 и 4

Температура этих стаканов изменяется по экспоненциальному закону и через время Задача про четыре стакана - 32 станет:

Задача про четыре стакана - 33

Задача про четыре стакана - 34

Далее смешиваем и получаем:

Задача про четыре стакана - 35

Задача про четыре стакана - 36

Задача про четыре стакана - 37

Стаканы 1 и 3

Смешиваем:

Задача про четыре стакана - 38

И через Задача про четыре стакана - 39 получаем:

Задача про четыре стакана - 40

Казалось бы разницы нет, но…

Подвох или еще раз о коэффициенте k

Наш цилиндрический стакан с точки зрения потерь тепла, можно разбить на три зоны: дно (bottom), верхняя часть (top) и боковые стенки (sidewall). Поэтому и коэффициент Задача про четыре стакана - 41 можно записать как сумму:

Задача про четыре стакана - 42

, где

Задача про четыре стакана - 43, Задача про четыре стакана - 44, Задача про четыре стакана - 45

Если стакан рассматривать как цилиндр с радиусом Задача про четыре стакана - 46 и высотой Задача про четыре стакана - 47, то:

Задача про четыре стакана - 48

, а

Задача про четыре стакана - 49

Можем записать:

Задача про четыре стакана - 50

Так вот, для случая 1 и 3, при смешивании, масса и высота столба воды удваиваются:

Задача про четыре стакана - 51

А вот к случаю 2 и 4 это не имеет никакого отношения, так как остывают (нагреваются) они по-одиночке, и после смешивания, дальнейшее изменение температуры нас абсолютно не волнует.

Выводы и еще один подвох

Если рассматривать

Задача про четыре стакана - 52

и

Задача про четыре стакана - 53

можно сделать вывод что Задача про четыре стакана - 54 всегда будет меньше чем Задача про четыре стакана - 55, а поэтому, если вспомнить что коэффициент определяет скорость изменения температуры, она, в случае 1 и 3 будет меньше.

Подвох состоит в значении Задача про четыре стакана - 56 относительно температуры окружающей среды. Если это значение будет выше, то остывание смеси 1+3 будет медленее чем 2+4 и, как итог, температура первой — выше. Однако, если подстроить эксперимент таким образом, что среднее температур будет ниже окружающей — «горячее» будет смесь 2+4, так как она нагревается быстрее.

Интересненькое

Если внимательно рассмотреть коэфициенты, можно сделать еще один интересный вывод.

  • Если цилиндр выбрать таким образом, что отношение Задача про четыре стакана - 57 будет достаточно большим (тонкий, но длинный), так чтобы Задача про четыре стакана - 58, то Задача про четыре стакана - 59 и их итоговые температуры будут практически одинаковы.
  • Напротив, если отношение Задача про четыре стакана - 60 сделать достаточно малым (широкий но короткий) так, чтобы Задача про четыре стакана - 61, то Задача про четыре стакана - 62.
    Подробнее

    Задача про четыре стакана - 63

    Задача про четыре стакана - 64

Если подставить это значение в формулу итоговой температуры для 1+3, получим:

Задача про четыре стакана - 65

Напомним что

Задача про четыре стакана - 66

Если обозначить:

Задача про четыре стакана - 67

, и

Задача про четыре стакана - 68

Таким образом, для произвольного цилиндрического стакана и Задача про четыре стакана - 69, Задача про четыре стакана - 70 будет лежать между Задача про четыре стакана - 71 и Задача про четыре стакана - 72:

Задача про четыре стакана - 73

А на самом деле..?

На самом деле, данная статья очень наглядный пример того, что к практике без теории подходить нельзя. И этот абзац содержит выводы куда важнее приведенных выше. Не знание того факта, что результат зависит, помимо прочего, и от температуры окружающей среды, приведет к неправильной интерпретации последних. Вы только представьте, два друга ставят эксперимент, холодная вода 5 градусов, горячая 60. Но у одного из них дома 25, а у другого 40. Результаты будут противоречивыми. А если у них еще и стаканы разные или действия не синхронны… Но гораздо хуже, ложно утверждать о единственно верном исходе эксперимента, в случае, если результаты одинаковы (ввиду того что горячая вода чаще всего «горячее» чем холодная «холоднее» относительно комнатной температуры). Также, всегда следует хотя бы приблизительно оценить выходные величины. Если, к примеру, разница в температурах, количественно составит 0.5 градуса, то глупо мерить ее комнатным термометром, с погрешностью в 2 градуса. Стоит упомянуть о том, что закон Нютона-Рихмана справедлив лишь в том случае, если в воде тепло распространяется гораздо легче, чем через стенки стакана. Вдобавок коэффициент теплопроводности, как и удельная теплоемкость, может зависеть от температуры. Ну и выводы наши для цилиндрического стакана, и другая геометрия внесет свои коррективы.

Автор: viktorpanasiuk

Источник

Поделиться новостью

* - обязательные к заполнению поля