Кратко: nginx не умеет пулить websockets, а php работает per request. Нужна прослойка которая будет держать открытыми вебсокеты и при поступлении данных соединяться с php (через тот же fastcgi) и отправлять обратно ответ.
Тема, как оказалось, не нова, исходники тянуться аж из 2014, но, тем не менее, информации о трюке, про который здесь пойдёт речь, крайне мало. Можете погуглить "websockets php". Усугубляется тема ещё тем, что найденные примеры реализации (два, точнее) не работают, включая тот, что в документации :)
