Пусть проводится некоторый эксперимент.
— элементарные события (элементарные исходы эксперимента).
— пространство элементарных событий (совокупность всевозможных элементарных исходов эксперимента).
Читать полностью »
Если Вы не читали мою первую статью на тему, советую начать с нее.
Раз уж я обмолвился про некоторое, хотя и весьма косвенное отношение к финансовым математикам, позвольте мне развить тему до абсурда исходя из того как ее развивают в Риск Аналитике. При расчете цены опциона часто считают также чувствительность этой цены к набору параметров. Например, как будет меняться цена опциона при изменении цены акции, на которую выпущен опцион, или при изменении волатильности цены акции, или ставки Центробанка и т.д.
Нас может интересовать как меняется вероятность выигрыша игры при изменении вероятности выигрыша очка. Фактически мы хотим посчитать производную от первого по второму. Простейший подход — оценить ее на глаз из графика. Видно, что максимум достигается в ситуации 50:50. При изменении шансов выигрыша очка с 0.45 до 0.55 вероятность победы в бадминтон возрастает с 0.26 до 0.74, то есть на 0.48. Грубая оценка дает производную в районе 5. То есть если с равных шансов Вы растете до 0.51 (то есть 51%), прирост в вероятности выигрыша игры будет около 0.05 (или 5%). Аналогичным образом можно посчитать производную в любой другой точке на графике.
Читать полностью »
Незаконное обвинение Салли Кларк в убийстве двоих её сыновей – знаменитый пример неправильного использования статистики в суде
В 1999 году британский солиситор Салли Кларк попала под суд за убийство двух своих малолетних сыновей. Она утверждала, что оба они стали жертвами синдрома внезапной младенческой смерти. Эксперт, свидетель обвинения, Рой Мидоу, утверждал, что шансы на то, что этот синдром заберёт жизни двух младенцев из богатой семьи, составляли 1 к 73 млн, что уравнивало их с шансом ставить на скачках на лошадь с коэффициентом 80 к 1 четыре года подряд и всё время выигрывать. Жюри присяжных приговорило Кларк к пожизненному заключению.
Читать полностью »
Считается, что функция sha256( sha256( BlockHeader ) ), которая используется в алгоритме хэширования bitcoin весьма надежна. Надежна настолько, что существует только один единственный способ подобрать голден нонсе для очередного блока в блокчейне — путем перебора в процессе майнинга.
В настоящее время в блокчейне биткоина уже более 530 тысяч блоков. Этого вполне достаточно, чтобы провести статистический анализ и ответить на вопрос: «действительно ли значения битов в ранее найденных нонсе равновероятно?».
Читать полностью »
Привет.
В процессе праздного ничегонеделания возникла идея поизучать разные азартные игры, заодно получше разобраться с тем как это работает. Результаты оказались хотя и в целом очевидными, но достаточно интересными, чтобы поделиться ими с общественностью.
Кому интересны подробности, прошу под кат.Читать полностью »
Человек должен мыслить вероятностно. Просто потому, что наш мир так устроен, что каждое событие происходит с той или иной степенью вероятности. И этот «железобетонный» факт нужно всегда принимать во внимание.
Читать полностью »
В прошлой статье я сказал, что числовые атрибуты напрямую связаны с операциями, которые мы проводим над объектами. При этом натуральные числа – самый простой из рассматриваемых нами атрибутов. Есть и более сложные. Например, матрицы. Если мы говорим о свойстве линейного преобразования в трехмерном пространстве, то оно записывается 9-ю числовыми значениями, из которых удобно сформировать матрицу размером 3 на 3. Причина этого в том, что два преобразования, выполненных последовательно, — тоже преобразование, числовые атрибуты которого могут быть получены путем перемножения двух матриц. В этом сила моделирования преобразования при помощи матрицы.
Я бы много отдал, чтобы преподавание математики строилось именно таким способом: через практическую задачу, через ввод нужных объектов (чисел, матриц, волновых функций) и объяснение, как операции над ними помогают решать конкретные задачи. Именно так строилось обучение в физмат школе, в которой мне довелось учиться – в интернате №18 при МГУ, спасибо преподавателям!
Читать полностью »
В своей книге Нейт Сильвер приводит такой пример: допустим требуется разместить инвестиции в нескольких предприятиях, которые могут обанкротиться с вероятностью 
. Требуется оценить свои риски. Чем выше вероятность банкротства, тем меньше мы будем вкладывать денег. И наоборот, если вероятность банкротства стремится к нулю, то можно инвестировать без ограничений.
Если имеется 2 предприятия, тогда вероятность того, что они оба обанкротятся и мы потеряем все вложения 
. Так учит стандартная теория вероятности. Но что будет, если предприятия связаны и банкротство одного ведет к банкротству другого?
Крайним случаем является ситуация, когда предприятия полностью зависимы. Вероятность двойного банкротства 
( банкрот1 & банкрот2 ) = 
( банкрот1 ), тогда вероятность потери всех вложений равна 
. Методика оценки риска имеет большой разброс 
от 0.05 до 0.0025 и реальное значение зависит от того насколько правильно мы оценили связанность двух событий.
При оценке инвестиций в 
предприятий имеем 
от 
до 
. То есть максимальная возможная вероятность остается большой 
и старая поговорка «не клади яйца в одну корзину» не сработает, если упадет прилавок со всеми корзинами сразу.
Таким образом наши оценки имеют колоссальный разброс, и сколько куда вкладывать остается вопросом. А ведь надо хорошо считать, прежде чем вкладывать. Нейт Сильвер говорит, что незнание этих простых законов аналитиками привело к крахам фондового рынка в 2008 году, когда рейтинговые агенства США оценивали риски, но не оценивали связанность рисков. Что в конце концов привело к эффекту домино, когда сначала свалился крупный игрок и увлек за собой других.
Попробуем разобрать эту проблему, решив простую математическую задачу после ката.
Читать полностью »
Дорогие друзья, я рад представить вам еще одну статью из серии своих путешествий по миру удивительного. Мы начали с разговора о числах-гигантах, где я попытался поделиться с вами своим восхищением от того, какие невероятные по своей величине числа окружают нас во Вселенной и как близко мы можем подойти по ним к самой бесконечности. Вторая статья рассказывала о микроскопически малых объектах, находящихся далеко за пределами видимости не только невооруженного глаза, но и самого сильного микроскопа. Сейчас я предлагаю вам отправиться в третье путешествие — путешествие в мир вероятностей. Мы рассмотрим примеры невероятных, но, тем не менее, математически возможных событий. Нам снова придется работать с числами, так что я заранее прошу прощения у гуманитариев (если, конечно, таковые есть на данном ресурсе). В общем, если вы, так же как и я, любите забивать голову бесполезными фактами, то добро пожаловать.
В соседнем посте была приведена интересная задача, условие которой звучит следующим образом:
Вероятность того, что в один из двенадцати стульев зашиты бриллианты, равна 0.9. Какова вероятность найти бриллианты в двенадцатом стуле, если стулья открывают поочерёдно.
На ближайшее время позволим себе абстрагироваться от точных численных значений и положим вероятность того, что бриллианты зашиты, равной p, а количество стульев — n.
Хотите узнать правильное решение этой задачи? Добро пожаловать под кат!
