Рубрика «евклид»

Довольно вычурные «Начала» Евклида в TeX-е - 1

«какая-то странная антикварная х██ня, написанная ирландским кулибиным в 1847 ну, хорошо, что и такая бывает, конечно» Миша Вербицкий

В 16-м году мне на глаза попались «Начала» Евклида в интерпретации Оливера Бирна. Фишка этой книги в том, что вместо буквенных обозначений навроде «треугольник ABC» там прямо в текст помещаются миниатюры частей построения, то есть, например, картинка с соответствующим треугольником. Насколько сделать такую книгу, как можно представить, было адовой работой в середине XIX века, настолько же легко, с правильными инструментами, это должно бы быть теперь. И, в общем, решил я в этом убедиться наверняка.

Читать полностью »

В четвёртой книге «Начал» Евклида, текста по геометрии возрастом 2 300 лет, есть указанаия по построению 15-стороннего многоугольника внутри круга. Первый шаг хорошо известен изучающим геометрию: построение равностороннего треугольника и правильного пятиугольника так, чтобы их вершины лежали на окружности и обе фигуры имели одну общую вершину. Кроме текстовых указаний, в «Началах» содержались иллюстрирующие метод чертежи.

Как изучают историю математики по чертежам в «Началах» Евклида - 1

В старейшей полной копии «Начал», манускрипте девятого века, хранящемся в Ватиканской библиотеке, отрезки прямых чертились и стирались. Изображение из Library of Congress Online Catalog, Prints and Photographs Division.

Невозможно узнать, как выглядели исходные схемы самого Евклида, но в выживших манускриптах открываются удивительные вариации в отображении таких геометрических фигур, как пятнадцатиугольник. Современному наблюдателю такие вариации кажутся ошибками: в некоторых средневековых версиях текста отрезки прямых имеют неверную длину. В манускрипте девятого века, старейшей копии «Начал», хранящейся в Ватиканской библиотеке, отрезки чертились и стирались. В ещё одном тексте девятого века, хранящемся в Оксфордском университете, стороны пятнадцатиугольника внутри окружности изогнутые и беспорядочные, а не прямые. В парижской копии двенадцатого века тоже используются кривые, но они немного менее извилисты, чем в старой оксфордской версии. В Вене хранится текст одиннадцатого или двенадцатого века, в котором исходные линии были правильной длины и прямыми, но позже кто-то добавил к ним изогнутые отрезки (1).
Читать полностью »

Математические обозначения: Прошлое и будущее - 1

Перевод поста Стивена Вольфрама (Stephen Wolfram) "Mathematical Notation: Past and Future (2000)".
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко KirillGuzenko за помощь в переводе и подготовке публикации


Содержание

Резюме
Введение
История
Компьютеры
Будущее
Примечания
Эмпирические законы для математических обозначений
Печатные обозначения против экранных
Письменные обозначения
Шрифты и символы
Поиск математических формул
Невизуальные обозначения
Доказательства
Отбор символов
Частотное распределение символов
Части речи в математической нотации


Стенограмма речи, представленной на секции «MathML и математика в сети» первой Международной Конференции MathML в 2000-м году.


Резюме

Большинство математических обозначений существуют уже более пятисот лет. Я рассмотрю, как они разрабатывались, что было в античные и средневековые времена, какие обозначения вводили Лейбниц, Эйлер, Пеано и другие, как они получили распространение в 19 и 20 веках. Будет рассмотрен вопрос о схожести математических обозначений с тем, что объединяет обычные человеческие языки. Я расскажу об основных принципах, которые были обнаружены для обычных человеческих языков, какие из них применяются в математических обозначениях и какие нет.

Согласно историческим тенденциям, математическая нотация, как и естественный язык, могла бы оказаться невероятно сложной для понимания компьютером. Но за последние пять лет мы внедрили в Mathematica возможности к пониманию чего-то очень близкого к стандартной математической нотации. Я расскажу о ключевых идеях, которые сделали это возможным, а также о тех особенностях в математических обозначениях, которые мы попутно обнаружили.

Большие математические выражения — в отличии от фрагментов обычного текста — часто представляют собой результаты вычислений и создаются автоматически. Я расскажу об обработке подобных выражений и о том, что мы предприняли для того, чтобы сделать их более понятными для людей.

Традиционная математическая нотация представляет математические объекты, а не математические процессы. Я расскажу о попытках разработать нотацию для алгоритмов, об опыте реализации этого в APL, Mathematica, в программах для автоматических доказательств и других системах.

Обычный язык состоит их строк текста; математическая нотация часто также содержит двумерные структуры. Будет обсуждён вопрос о применении в математической нотации более общих структур и как они соотносятся с пределом познавательных возможностей людей.

Сфера приложения конкретного естественного языка обычно ограничивает сферу мышления тех, кто его использует. Я рассмотрю то, как традиционная математическая нотация ограничивает возможности математики, а также то, на что могут быть похожи обобщения математики.
Читать полностью »