Рубрика «эллиптические кривые»

Публикуется с разрешения автора.

От переводчика

Текст, перевод которого я намерен представить вашему вниманию, — краткая автобиография (называющаяся в оригинале «Mathematical Software and Me: A Very Personal Recollection», то есть «Математическое ПО и я: очень личные размышления»), написанная в 2009-м году Уильямом Стайном (имя которого по-русски иногда пишут как «Вильям Стейн»), бывшим профессором математики Вашингтонского Универститета, получившим степень Ph. D. в Беркли (Калифорния). Математическая составляющая профессиональных интересов доктора Стайна — теория чисел. Этот текст о его, возможно, главном деле — системе компьютерной математики, ранее называвшейся Sage, в настоящее время переименованной в SageMath, существующей также в облачной версии, которая раньше называлась SageMathCloud, а теперь — CoCalc. (На Хабре эти системы неоднократно упоминались: например, freetonik написал о Sage, а sindzicat поведал о SageMathCloud.) Когда я прочитал «Mathematical Sofrware and Me» первый раз, этот текст меня очень впечатлил. И прежде, чем перейти к самому переводу, я попробую кратко объяснить, чем же именно.

image
Автор оригинального текста (слева)
Читать полностью »

Secure Shell (SSH) — широко используемый протокол транспортного уровня для защиты соединений между клиентами и серверами. Это базовый протокол в нашей программе Teleport для защищённого доступа к инфраструктуре. Ниже относительно краткое описание рукопожатия, которое происходит перед установлением безопасного канала между клиентом и сервером и перед началом полного шифрования трафика.

Обмен версиями

Рукопожатие начинается с того, что обе стороны посылают друг другу строку с номером версии. В этой части рукопожатия не происходит ничего чрезвычайно захватывающего, но следует отметить, что большинство относительно современных клиентов и серверов поддерживают только SSH 2.0 из-за недостатков в дизайне версии 1.0.

Обмен ключами

В процессе обмена ключами (иногда называемого KEX) стороны обмениваются общедоступной информацией и выводят секрет, совместно используемый клиентом и сервером. Этот секрет невозможно обнаружить или получить из общедоступной информации.
Читать полностью »

Работа Александра Смита по гипотезе Голдфелда раскрыла фундаментальные свойства эллиптических кривых

Новое доказательство демонстрирует существование двух видов бесконечных кривых - 1
Две эллиптические кривые демонстрируют странности концепции ранга. Кривая слева описывается уравнением y2 = x3 + 1, проходит только через пять рациональных точек и имеет ранг 0. Кривая справа описывается уравнением y2 = x3 + 8, проходит через бесконечное число рациональных точек, и имеет ранг 1.

Вариантов эллиптических кривых может быть много, но их реальных разновидностей всего две. Таков итог нового доказательства, полученного аспирантом из Гарвардского университета.

Эллиптические кривые кажутся чем-то экзотическим, однако это непримечательные геометрические объекты, не сложнее прямых, парабол или эллипсов. В своей работе, опубликованной в онлайне в прошлом году, Алексадр Смит доказал гипотезу сорокалетней давности, касающуюся фундаментальной особенности эллиптических кривых, ранга. Смит доказал, что из определённого семейства кривых, имеющих одну характеристику, половина имеют ранг, равный 0, а половина – 1.
Читать полностью »

Новая статистическая модель, кажется, подрывает давно принятые предположения из теории чисел. Насколько ей можно доверять, если на самом деле имеет значение только строгое доказательство?

Какие точки на эллиптической кривой y2 = x3 – 4x + 1 рациональные? Чтобы их найти, нужно провести прямые через пары рациональных точек. Все точки, через которые проходят прямые, также будут рациональными.

Недавно четверо исследователей придумали модель, переворачивающую с ног на голову весь здравый смысл их области исследований. Они использовали данные вычислений, позволяющие предположить, что преобладающее несколько десятилетий мнение об одной из фундаментальных концепций было ошибочным.

И это не биологи, климатологи или физики. В их научной области эмпирические модели не имеют права голоса касательно истины. Они – математики, представители дисциплины, чья стандартная валюта – неоспоримое логичное доказательство – обычно избавляет их от дебатов, поражающих другие области. И всё же вот они, со своей моделью, говорящей, что, вероятно, пришло время пересмотреть некоторые давнишние представления.
Читать полностью »

В литературе и самых сложных современных системах есть «лучшие» ответы на многие вопросы. Если вы разрабатываете встроенные приложения, то предлагают использовать STROBE и модный современный криптографический стек для аутентификации полностью из одиночных SHA-3-подобных функций губки. Советуют использовать NOISE для разработки безопасного транспортного протокола с формированием общего ключа аутентификации (AKE). Говоря об AKE, есть около 30 различных парольных AKE на выбор.

Но если вы разработчик, а не криптограф, то не должны делать ничего такого. Следует придерживаться простых и обычных решений, которые легко поддаются анализу — «скучных», как говорят люди из Google TLS.
Читать полностью »

Постквантовая криптография и закат RSA — реальная угроза или мнимое будущее? - 1 RSA, эллиптические кривые, квантовый компьютер, изогении… На первый взгляд, эти слова напоминают какие-то заклинания, но все куда проще сложнее, чем кажется!

Необходимость перехода к криптографии, устойчивой к атаке на квантовом компьютере, уже официально анонсирована NIST и NSA, из чего вывод довольно-таки простой: пора вылезать из зоны комфорта!

А значит, стоит отходить от старой доброй RSA и даже, вероятно, от полюбившихся многим эллиптических кривых и узнавать новые, не менее интересные примитивы, способные обезопасить конфиденциальную информацию.

Чтобы разобраться в тонкостях криптографии на эллиптических кривых, проследить новомодные веяния постквантовой криптографии и даже прикоснуться к ней с помощью библиотеки Microsoft SIDH, добро пожаловать под кат, %username%!
Читать полностью »

image
На этой табличке родом из Вавилона, сделанной около 1800 года до н.э., перечислены пифагоровы тройки – целые числа a, b и c, удовлетворяющие полиномиальному уравнению a2 + b2 = c2. По сию пору поиск рациональных и целочисленных решений полиномиальных уравнений остаётся серьёзной задачей для математиков

В пятом столетии до н.э. греческий математик сделал открытие, пошатнувшее основы математики, и, по легенде, стоившее ему жизни. Историки считают, что это был Гиппас из Метапонта, и он принадлежал к пифагорейской школе математики, основным догматом которой было то, что любое физическое явление можно выразить целыми числами и их отношениями (тем, что мы называем рациональными числами). Но это предположение развалилось, когда, как считают историки, Гиппас рассматривал длины сторон прямоугольного треугольника, которые должны удовлетворять теореме Пифагора – знаменитому соотношению a2 + b2 = c2. Говорят, что Гиппас показал, что при одинаковой длине катетов треугольника, выражаемой рациональным числом, его гипотенузу нельзя выразить рациональным числом.
Читать полностью »

Проблема факторизации напрямую связана с определением криптостойкости RSA, которое базируется на предположении, что не существует быстрых алгоритмов факторизации, которые за короткое время позволили бы взломать код, а если через некоторое время и получится это сделать, то данные потеряют свою актуальность. В этой статье мы протестируем и сделаем выводы по одному из способов факторизации.
Читать полностью »

image
Привет!
Я уже писал на Хабре о своей реализации блочных шифров стран СНГ. Выдалась еще одна свободная неделька в результате чего к симметричным стандартам добавились алгоритмы электронной цифровой подписи: российский ГОСТ 34.10-2012, украинский ДСТУ 4145-2002 и белорусский СТБ 34.101.45-2013.
Все три алгоритма основаны на эллиптических кривых. Но реализация каждого из стандартов имеет свои тонкости, о которых я хочу кратко рассказать в этой статье.
Читать полностью »

Эта примечательная гипотеза связывает поведение функции L там, где в настоящее время неизвестно, определена ли она, и порядок группы Ш, про которую неизвестно, конечна ли она!
J.T.Tate, The arithmetic of elliptic curves, Inventiones mathematicae 23 (1974)

Оригинал

This remarkable conjecture relates the behaviour of a function L at a point where it is not at present known to be defined to the order of a group Ш which is not known to be finite!

(Краткая справка насчёт актуальности цитаты 40-летней давности: после Уайлса и Ко таки стало известно, что функцию L можно определить на всей комплексной плоскости. Конечность группы Ш в общем случае остаётся неизвестной.)

Остаётся обсудить возможность ошибки. В качестве предосторожности против внутренних ошибок компьютера можно прогнать все вычисления дважды или делать проверки внутри программы. Более того, компьютеры — в отличие от людей — устроены так, что их ошибки обычно чересчур велики, чтобы их не заметить. Мы уверены, что в наших результатах нет подобных ошибок. С другой стороны, при кодировании замысловатой схемы вычислений в компьютерную программу неизбежны программистские ошибки. Большинство из них обнаруживаются ещё до основных запусков, из-за того, что программа виснет или выдаёт нелепые результаты. Но программа, которую считается работающей, всё ещё может содержать логические ошибки, проявляющиеся при редких стечениях обстоятельств: и действительно, большинство компьютеров подвержено аномалиям, из-за которых те иногда ведут себя не так, как должны по спецификациям. В сущности, наша программа для этапа (ii) оказалась неточной и пропустила очень небольшое количество эквивалентностей, которые должна была найти.

По этим причинам мы считаем, что не стоит автоматически доверять результатам, полученным на компьютере. В некоторых случаях их можно проверить за счёт свойств, которые по существу не были задействованы в вычислениях и которые вряд ли пережили бы возможную ошибку. (Например, таблицу значений гладкой функции, полученную без использования интерполяции, можно проверить вычислением разностей соседних значений.) Но если подобные проверки недоступны, не стоит полностью доверять результатам, пока они не были независимо подтверждены другим программистом на другом компьютере. Мы не думаем, что это задаёт чрезмерный стандарт во время, когда компьютеры становятся столь широко доступны; и мы уверены, что низкие стандарты уже привели к публикации и вере в неверные результаты.

B.J.Birch and H.P.F.Swinnerton-Dyer, Notes on elliptic curves. I, Journal für die reine und angewandte Mathematik 212 (1963)

Оригинал

It remains to discuss the question of error. One can take precautions against machine errors either by running all the calculations twice or by checks included in the program. Moreover, machines — unlike human beings — are so designed that the errors they make are usually too gross to be overlooked. We are satisfied that there are in our results no undetected errors of this sort. On the other hand, in translating an elaborate scheme of calculation into a machine program one is bound to make mistakes. Most of these are found before the program is used for production runs; they show up because the program grinds to a halt or produces ridiculous results. But a program which is believed to work may still contain logical errors which only have an effect in rare circumstances: and indeed most computers have anomalies which cause them occasionally not to behave in the way that their specifications suggest. In fact, our program for stage (ii) was imperfect in that a very few equivalences were missed by the machine.

For these reasons we believe that results obtained from a computer should not be automatically trusted. In some cases they can be checked because they have properties which were not essentially used in the course of the calculation and which would be unlikely to survive if an error had been made. (For example, if a table of a smooth function has been calculated without the use of interpolation, it can be checked by differencing.) But if checks of this sort are not available, results should not be fully trusted until they have been independently reproduced by a different programmer using a different machine. We do not think this sets an unreasonable standard, now that computers are becoming so widely available; and we are satisfied that lower standards have already led to a number of untrue results being published and believed.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера - 1
Под катом не будет формулировки гипотезы; знающие выражения вроде «Euler product» и «holomorphic continuation» (и в смысле языка, и в смысле обозначаемых понятий) могут прочитать пятистраничный pdf с сайта института Клэя. Под катом — некоторая попытка пояснить, на каком направлении развития математической мысли вообще находится гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера. А также — как можно досчитать до больших чисел вроде тех, что показаны на КДПВ, менее чем за секунду.
Читать полностью »


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js